EN

Korelasyon ve regresyon

X ve Y değerlerini gir; saçılım grafiği, korelasyon, regresyon doğrusu ve tahmin çıksın.

Soru: İki ölçüm birlikte değişiyor mu? Biri bilinince diğeri ne kadar iyi tahmin edilebilir?
Örnek: Farklı azot dozlarında (kg/da) elde edilen verim (kg/da). Azot dozu ile verim arasında ilişki var mı, doz arttıkça verim ne kadar artıyor?

n = 7, ortalama 9

n = 7, ortalama 376

300350400051015(0; 285)(3; 320)(6; 362)(9; 390)(12; 415)(15; 428)(18; 432)Azot dozu (kg/da)Verim (kg/da)

Noktalar ölçümler, çizgi regresyon doğrusu. Yeşil nokta girdiğin X için tahmin.

Regresyon denklemi

y^=299,93+8,452 x\hat{y} = 299{,}93 + 8{,}452\,x

Korelasyon (r)
0,969
Belirleme (R²)
%93,9
x = 10 için tahmin
384,45

X bir birim arttığında Y ortalama 8,452 birim artıyor. Y’deki değişimin %93,9’i X ile açıklanıyor; ilişki güçlü.

  1. Eğim (b): X bir birim arttığında Y’nin ortalama ne kadar değiştiği.

    b=SxySxx=2130252=8,4524b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}} = \dfrac{2130}{252} = 8{,}4524

  2. Kesişim (a): doğrunun ortalama noktadan (x̄, ȳ) geçmesi sağlanır.

    a=yˉ−b xˉ=376−8,4524⋅9=299,9286a = \bar{y} - b\,\bar{x} = 376 - 8{,}4524 \cdot 9 = 299{,}9286

  3. Regresyon denklemi:

    y^=299,929+8,4524 x\hat{y} = 299{,}929 + 8{,}4524\,x

  4. Belirleme katsayısı: Y’deki değişimin yüzde kaçı X ile açıklanıyor.

    R2=r2=0,9392  (%93,9)R^2 = r^2 = 0{,}9392 \;(\%93{,}9)

İlişki önemli mi?

H0:ρ=0H_0: \rho = 0H1:ρ≠0H_1: \rho \neq 0
-6-4-20246-2,5712,571hesaplanan 8,78 →t (sd = 5)

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

X ile Y arasında güçlü, pozitif (biri artarken diğeri de artıyor) ve istatistik olarak önemli bir ilişki var.

p-değeri = 0,0003 (%1 düzeyinde önemli, **)

Korelasyon nedensellik göstermez: iki değişken birlikte değişiyor diye biri diğerine sebep olmaz.

Nasıl hesaplandı?

thest_{hes} = 8,785

  1. Kareler ve çarpımlar toplamları (düzeltilmiş) hesaplanır.

    Sxx=∑x2−(∑x)2n=252S_{xx} = \sum x^2 - \dfrac{(\sum x)^2}{n} = 252
  2. Syy=∑y2−(∑y)2n=19170S_{yy} = \sum y^2 - \dfrac{(\sum y)^2}{n} = 19170
  3. Sxy=∑xy−∑x∑yn=2130S_{xy} = \sum xy - \dfrac{\sum x \sum y}{n} = 2130

  4. Korelasyon katsayısı: ilişkinin yönü ve gücü (−1 ile +1 arası).

    r=SxySxx⋅Syy=2130252⋅19170=0,9691r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \dfrac{2130}{\sqrt{252 \cdot 19170}} = 0{,}9691

  5. r’nin sıfırdan farklı olup olmadığı t testiyle sınanır.

    t=rn−21−r2=0,969151−0,9392=8,785t = \dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \dfrac{0{,}9691\sqrt{5}}{\sqrt{1-0{,}9392}} = 8{,}785

  6. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

    ∣thes∣=8,785>ttab=2,571|t_{hes}| = 8{,}785 > t_{tab} = 2{,}571

  7. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (0,0003) α = 0,05 değerinden küçük.