EN

Varyans analizi

Her muamelenin tekerrürlerini gir; varyans analizi tablosu, F testi, LSD karşılaştırmaları ve denemenin varyasyon katsayısı hesaplansın.

Tesadüf parselleri deseni

Muameleler tarlaya tamamen rastgele dağıtıldıysa. Her muamelenin tekerrür sayısı farklı olabilir.

Soru: Üç ya da daha fazla muamele (gübre dozu, çeşit, sulama aralığı) arasında fark var mı? Varsa hangileri birbirinden farklı?
Örnek: Dört farklı azot dozu (kg/da) dörder tekerrürlü olarak tesadüf parselleri deneme deseninde denendi. Verim (kg/da) ölçüldü. Azot dozları arasında fark var mı?

n = 4
n = 4
n = 4
n = 4
H0:μ1=μ2=⋯=μ4H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_{4}H1:En az bir ortalama dig˘erlerinden farklıH_1: \text{En az bir ortalama diğerlerinden farklı}
Varyans analizi tablosu
Varyasyon kaynağıSDKTKOF
Muamele323053,197684,465,67 **
Hata121404,25117,02
Genel1524457,44

SD: serbestlik derecesi, KT: kareler toplamı, KO: kareler ortalaması. * %5, ** %1 düzeyinde önemli, ö.d.: önemli değil. VK = %2,97.

Muamele ortalamaları
MuameleOrtalama
0 kg N308 c
5 kg N351,25 b
10 kg N396,25 a
15 kg N401,75 a

Duncan (%5) kritik aralıkları: R2 = 16,67, R3 = 17,44, R4 = 17,92. Aynı harfi paylaşan ortalamalar arasındaki fark önemli değildir.

İkili karşılaştırmalar: Duncan çoklu aralık testi

Ortalamalar sıralanır; birbirinden uzak olanlar için daha büyük, yakın olanlar için daha küçük kritik fark kullanılır. Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın kullanılan yöntemdir.

  1. Ortalamalar büyükten küçüğe sıralanır. İki ortalama arasında kaç ortalama kaldığına (p) göre farklı bir kritik aralık kullanılır.

    Rp=qαp; p; 12HKO4,αp=1−(1−α)p−1R_p = q_{\alpha_p;\,p;\,12} \sqrt{\dfrac{HKO}{4}}, \qquad \alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}

  2. Kritik aralıklar:

    R2=16,67,R3=17,44,R4=17,92R_{2} = 16{,}67,\quad R_{3} = 17{,}44,\quad R_{4} = 17{,}92

  3. Daha geniş bir aralıktaki fark önemsizse, o aralığın içinde kalan ortalamalar arasındaki farklar da önemsiz sayılır.

  4. Farkı kritik değerden küçük olan ortalamalar aynı harfi alır. 5 / 6 çift arasındaki fark önemli.

KarşılaştırmaFarkpKritik farkSonuç
0 kg N – 5 kg N43,25216,67Fark önemli
0 kg N – 10 kg N88,25317,44Fark önemli
0 kg N – 15 kg N93,75417,92Fark önemli
5 kg N – 10 kg N45216,67Fark önemli
5 kg N – 15 kg N50,5317,44Fark önemli
10 kg N – 15 kg N5,5216,67Fark önemsiz
012345673,49hesaplanan 65,67 →F (3; 12)

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

Muameleler arasındaki fark istatistik olarak önemli: en az bir grubun ortalaması diğerlerinden farklı. Hangi grupların farklı olduğunu görmek için LSD tablosuna bak.

p < 0,0001 (%1 düzeyinde önemli, **)

Nasıl hesaplandı?

FhesF_{hes} = 65,667

  1. Düzeltme terimi (DT): genel toplamın karesi gözlem sayısına bölünür.

    DT=(∑X)2N=5829216=2123577,56DT = \dfrac{(\sum X)^2}{N} = \dfrac{5829^2}{16} = 2123577{,}56

  2. Genel kareler toplamı: tüm gözlemlerin toplam değişkenliği.

    GKT=∑X2−DT=2148035−2123577,56=24457,44GKT = \sum X^2 - DT = 2148035 - 2123577{,}56 = 24457{,}44

  3. Muamele kareler toplamı: gruplar arası farklardan gelen değişkenlik.

    MKT=12322+14052+15852+160724−DT=23053,19MKT = \dfrac{1232^2 + 1405^2 + 1585^2 + 1607^2}{4} - DT = 23053{,}19

  4. Hata kareler toplamı: grupların kendi içindeki (şansa bağlı) değişkenlik.

    HKT=GKT−MKT=24457,44−23053,19=1404,25HKT = GKT - MKT = 24457{,}44 - 23053{,}19 = 1404{,}25

  5. Kareler toplamları serbestlik derecelerine bölünerek kareler ortalaması bulunur.

    MKO=MKTk−1=23053,193=7684,396MKO = \dfrac{MKT}{k-1} = \dfrac{23053{,}19}{3} = 7684{,}396
  6. HKO=HKTN−k=1404,2512=117,021HKO = \dfrac{HKT}{N-k} = \dfrac{1404{,}25}{12} = 117{,}021

  7. F: gruplar arası değişkenliğin grup içi değişkenliğe oranı. Muamelenin etkisi yoksa 1 civarında çıkar.

    F=MKOHKO=7684,396117,021=65,667F = \dfrac{MKO}{HKO} = \dfrac{7684{,}396}{117{,}021} = 65{,}667

  8. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

    Fhes=65,667>Ftab=3,49F_{hes} = 65{,}667 > F_{tab} = 3{,}49

  9. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (< 0,0001) α = 0,05 değerinden küçük.

  10. Denemenin varyasyon katsayısı, denemenin ne kadar hassas yürütüldüğünü gösterir.

    VK=HKOXˉ⋅100=10,818364,313⋅100=%2,97VK = \dfrac{\sqrt{HKO}}{\bar{X}} \cdot 100 = \dfrac{10{,}818}{364{,}313} \cdot 100 = \%2{,}97

Tesadüf blokları deseni

Tarla bloklara ayrılıp her blokta her muamele bir kez denendiyse. Tablo doğrudan Excel’den yapıştırılabilir.

Soru: Tarla homojen değilken muameleler arasında fark var mı? Blokların etkisi ayrıldıktan sonra hangi muameleler farklı?
Örnek: Beş buğday çeşidi eğimli bir tarlada 4 blokta denendi. Bloklar eğim yönüne dik kuruldu: 1. blok tepede, 4. blok etekte. Verim (kg/da) ölçüldü. Çeşitler arasında fark var mı?

Toplam
2051
2140
1992
2233
2044
Blok toplamı236225822677283910460

Bir parsel kaybolduysa (hayvan, sel, ölçüm hatası) hücresini boş bırak; değeri tahmin edilir.

H0:μ1=μ2=⋯=μ5H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_{5}H1:En az bir muamele ortalaması farklıH_1: \text{En az bir muamele ortalaması farklı}
Varyans analizi tablosu
Varyasyon kaynağıSDKTKOF
Blok323823,67941,264,05 **
Muamele49042,52260,6318,23 **
Hata121487,9123,99
Genel1934354

SD: serbestlik derecesi, KT: kareler toplamı, KO: kareler ortalaması. * %5, ** %1 düzeyinde önemli, ö.d.: önemli değil. VK = %2,13.

Muamele ortalamaları
MuameleOrtalama
Çeşit 1512,75 c
Çeşit 2535 b
Çeşit 3498 c
Çeşit 4558,25 a
Çeşit 5511 c

Duncan (%5) kritik aralıkları: R2 = 17,16, R3 = 17,96, R4 = 18,44, R5 = 18,76. Aynı harfi paylaşan ortalamalar arasındaki fark önemli değildir.

İkili karşılaştırmalar: Duncan çoklu aralık testi

Ortalamalar sıralanır; birbirinden uzak olanlar için daha büyük, yakın olanlar için daha küçük kritik fark kullanılır. Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın kullanılan yöntemdir.

  1. Ortalamalar büyükten küçüğe sıralanır. İki ortalama arasında kaç ortalama kaldığına (p) göre farklı bir kritik aralık kullanılır.

    Rp=qαp; p; 12HKO4,αp=1−(1−α)p−1R_p = q_{\alpha_p;\,p;\,12} \sqrt{\dfrac{HKO}{4}}, \qquad \alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}

  2. Kritik aralıklar:

    R2=17,16,R3=17,96,R4=18,44,R5=18,76R_{2} = 17{,}16,\quad R_{3} = 17{,}96,\quad R_{4} = 18{,}44,\quad R_{5} = 18{,}76

  3. Daha geniş bir aralıktaki fark önemsizse, o aralığın içinde kalan ortalamalar arasındaki farklar da önemsiz sayılır.

  4. Farkı kritik değerden küçük olan ortalamalar aynı harfi alır. 7 / 10 çift arasındaki fark önemli.

KarşılaştırmaFarkpKritik farkSonuç
Çeşit 1 – Çeşit 222,25217,16Fark önemli
Çeşit 1 – Çeşit 314,75317,96Fark önemsiz
Çeşit 1 – Çeşit 445,5317,96Fark önemli
Çeşit 1 – Çeşit 51,75217,16Fark önemsiz
Çeşit 2 – Çeşit 337418,44Fark önemli
Çeşit 2 – Çeşit 423,25217,16Fark önemli
Çeşit 2 – Çeşit 524317,96Fark önemli
Çeşit 3 – Çeşit 460,25518,76Fark önemli
Çeşit 3 – Çeşit 513217,16Fark önemsiz
Çeşit 4 – Çeşit 547,25418,44Fark önemli

Blok yapmak işe yaradı mı?

Bloklar arasındaki fark önemli (F = 64,05, p < 0,0001): tarlada gerçekten bir eğilim varmış ve blok bu değişkenliği hatadan ayırmış.

Göreli etkinlik: 10,95. Aynı hassasiyeti tesadüf parselleri deseniyle yakalamak için yaklaşık 11 kat fazla tekerrür gerekirdi.

Aynı veri bloklar yok sayılarak (tesadüf parselleri gibi) analiz edilseydi: F = 1,34, p = 0,3009, yani muamele farkı önemli çıkmazdı. Blok değişkenliği hataya karışıp gerçek farkı gizlerdi.

01234563,259hesaplanan 18,23 →F (4; 12)

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

Blok etkisi ayrıldıktan sonra muameleler arasındaki fark istatistik olarak önemli. Hangi muamelelerin farklı olduğu harflerle gösterildi.

p < 0,0001 (%1 düzeyinde önemli, **)

Nasıl hesaplandı?

FhesF_{hes} = 18,232

  1. Düzeltme terimi (DT): genel toplamın karesi gözlem sayısına bölünür.

    DT=(∑X)2t⋅r=1046025⋅4=5470580DT = \dfrac{(\sum X)^2}{t \cdot r} = \dfrac{10460^2}{5 \cdot 4} = 5470580

  2. Genel kareler toplamı: tüm parsellerin toplam değişkenliği.

    GKT=∑X2−DT=34354GKT = \sum X^2 - DT = 34354

  3. Blok kareler toplamı: blok toplamlarının kareleri muamele sayısına bölünür. Tarladaki eğim, toprak ya da nem farkından gelen değişkenlik.

    BKT=23622+25822+26772+⋯5−DT=23823,6BKT = \dfrac{2362^2 + 2582^2 + 2677^2 + \cdots}{5} - DT = 23823{,}6

  4. Muamele kareler toplamı: muamele toplamlarının kareleri blok sayısına bölünür.

    MKT=20512+21402+19922+⋯4−DT=9042,5MKT = \dfrac{2051^2 + 2140^2 + 1992^2 + \cdots}{4} - DT = 9042{,}5

  5. Hata kareler toplamı: genelden blok ve muamele payı çıkarılınca kalan, gerçekten şansa bağlı kısım.

    HKT=GKT−BKT−MKTHKT = GKT - BKT - MKT
  6. HKT=34354−23823,6−9042,5=1487,9HKT = 34354 - 23823{,}6 - 9042{,}5 = 1487{,}9

  7. Serbestlik dereceleri: blok r − 1, muamele t − 1, hata (t − 1)(r − 1).

    sdB=3,sdM=4,sdH=4⋅3=12sd_B = 3, \quad sd_M = 4, \quad sd_H = 4 \cdot 3 = 12

  8. Kareler ortalamaları:

    MKO=9042,54=2260,625MKO = \dfrac{9042{,}5}{4} = 2260{,}625
  9. HKO=1487,912=123,992HKO = \dfrac{1487{,}9}{12} = 123{,}992

  10. Muameleler için F değeri:

    F=MKOHKO=2260,625123,992=18,232F = \dfrac{MKO}{HKO} = \dfrac{2260{,}625}{123{,}992} = 18{,}232

  11. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

    Fhes=18,232>Ftab=3,259F_{hes} = 18{,}232 > F_{tab} = 3{,}259

  12. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (< 0,0001) α = 0,05 değerinden küçük.

  13. Denemenin varyasyon katsayısı:

    VK=HKOXˉ⋅100=11,135523⋅100=%2,13VK = \dfrac{\sqrt{HKO}}{\bar{X}} \cdot 100 = \dfrac{11{,}135}{523} \cdot 100 = \%2{,}13