EN

Binom ve Poisson dağılımı

Hangisini ne zaman kullanacağın Bölüm 5'te anlatılıyor. Kısaca: deneme sayısı belliyse binom, sadece ortalama olay sayısı biliniyorsa Poisson.

Binom

Örnek:

Bir para 4 kez atılıyor. 1 veya 2 kez yazı gelme olasılığı nedir?

00,1880,375P(X = 0) = 0,06250P(X = 1) = 0,251P(X = 2) = 0,3752P(X = 3) = 0,253P(X = 4) = 0,06254Ortalama 2Başarı sayısı (k)

Koyu çubuklar hesaba katılan değerler; kesikli çizgi ortalama (2). Çubukların üzerine gelince olasılığı görünür.

Sonuç

P(1≤X≤2)P(1 \le X \le 2) = 0,625

  1. Her denemede iki sonuç var (başarı / başarısızlık) ve başarı olasılığı her denemede aynı. n denemede tam k başarı olasılığı:

    P(X=k)=(nk) pk q n−k,q=1−pP(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}, \qquad q = 1 - p
  2. n=4,p=0,5,q=1−0,5=0,5n = 4, \quad p = 0{,}5, \quad q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5
  3. P(1≤X≤2)=(41)0,51 0,53+(42)0,52 0,52P(1 \le X \le 2) = \binom{4}{1} 0{,}5^{1}\, 0{,}5^{3} + \binom{4}{2} 0{,}5^{2}\, 0{,}5^{2}
  4. =0,25+0,375=0,625= 0{,}25 + 0{,}375 = 0{,}625

  5. Beklenen (ortalama) başarı sayısı n·p = 2, varyans n·p·q = 1.

Poisson

Örnek:

Bir havalimanına her 15 dakikada ortalama 3 uçak iniyor. Herhangi bir 15 dakikada en fazla 2 uçak inme olasılığı nedir?

00,1120,224P(X = 0) = 0,04980P(X = 1) = 0,14941P(X = 2) = 0,2242P(X = 3) = 0,2243P(X = 4) = 0,1684P(X = 5) = 0,10085P(X = 6) = 0,05046P(X = 7) = 0,02167P(X = 8) = 0,00818P(X = 9) = 0,00279P(X = 10) = 0,000810P(X = 11) = 0,000211P(X = 12) = 0,000112P(X = 13) = 013P(X = 14) = 014P(X = 15) = 015Ortalama 3Olay sayısı (k)

Koyu çubuklar hesaba katılan değerler; kesikli çizgi ortalama (3). Çubukların üzerine gelince olasılığı görünür.

Sonuç

P(X≤2)P(X \le 2) = 0,4232

  1. Belli bir zaman ya da alanda ortalama λ olay oluyorsa, tam k olay olma olasılığı:

    P(X=k)=e−λ λkk!P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda}\, \lambda^{k}}{k!}
  2. λ=3,e−λ=e−3=0,049787\lambda = 3, \quad e^{-\lambda} = e^{-3} = 0{,}049787
  3. P(X≤2)=e−3 300!+e−3 311!+e−3 322!P(X \le 2) = \dfrac{e^{-3}\, 3^{0}}{0!} + \dfrac{e^{-3}\, 3^{1}}{1!} + \dfrac{e^{-3}\, 3^{2}}{2!}
  4. =0,0498+0,1494+0,224=0,4232= 0{,}0498 + 0{,}1494 + 0{,}224 = 0{,}4232

  5. Poisson dağılımında ortalama ve varyans eşittir: ikisi de λ = 3.