Verinin şekli

Her seferinde baştan saymak zorunda değilsin

Bölüm 4’te olasılığı durumları tek tek sayarak bulduk. Gerçek hayattaki sorular ise genellikle birbirine benzer: “20 tohumdan kaçı çimlenir?”, “bir yaprakta kaç leke olur?”, “bir bitkinin boyu 240 cm’yi geçer mi?”

Bu soruların her biri, matematikçilerin önceden incelediği bir kalıba uyar. Bu kalıplara dağılım denir. Verinin hangi dağılıma uyduğunu bilirsen olasılığı formülden ya da hazır tablodan okursun, saymana gerek kalmaz.

Verin nasıl?	Dağılım	Örnek soru
n denemede kaç başarı? (her denemede iki sonuç)	Binom	20 tohumdan en az 18’i çimlenir mi?
Belli bir sürede/alanda kaç olay? (nadir olaylar)	Poisson	Bir yaprakta hiç leke olmaz mı?
Ölçülen sürekli bir değer (boy, verim, ağırlık)	Normal	Bir bitkinin boyu 240 cm’yi geçer mi?
Test istatistikleri	t, χ², F	Bu fark şans eseri mi?

Sayarak elde edilen veriler (sınıflama ve sıralama ölçekleri, sayımlar) kesikli dağılımlara, ölçerek elde edilenler (aralık ve oran ölçekleri) sürekli dağılımlara uyar.

Binom dağılımı

Ne zaman kullanılır? Dört koşul birlikte sağlanıyorsa:

1. Sabit sayıda deneme var ($n$): 20 tohum ekildi.
2. Her denemenin iki sonucu var: çimlendi ya da çimlenmedi.
3. Başarı olasılığı her denemede aynı ($p$): her tohum %85 ihtimalle çimleniyor.
4. Denemeler birbirinden bağımsız: bir tohumun çimlenmesi diğerini etkilemiyor.

Bu durumda $n$ denemede tam $k$ başarı olasılığı şöyle hesaplanır:

$$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, q^{\,n-k}$$

Formülün mantığı basit: $p^k q^{n-k}$ belli bir sıralamanın (ör. ilk 18’i çimlendi, son 2’si çimlenmedi) olasılığıdır. $\binom{n}{k}$ ise bu 18 başarının 20 tohum arasında kaç farklı şekilde dağılabileceğini sayar.

Örnek:Para atışıÇimlenmeHastalıklı bitki

Bir para 4 kez atılıyor. 1 veya 2 kez yazı gelme olasılığı nedir?

Deneme sayısı (n)Başarı olasılığı (p)0 ile 1 arasıArananTam olarakEn fazlaEn azArasındaAlt sınırÜst sınır

Koyu çubuklar hesaba katılan değerler; kesikli çizgi ortalama (2). Çubukların üzerine gelince olasılığı görünür.

Sonuç

$P(1 \le X \le 2)$ = 0,625

1. Her denemede iki sonuç var (başarı / başarısızlık) ve başarı olasılığı her denemede aynı. n denemede tam k başarı olasılığı:

   $$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\, q^{\,n-k}, \qquad q = 1 - p$$
2. $$n = 4, \quad p = 0{,}5, \quad q = 1 - 0{,}5 = 0{,}5$$
3. $$P(1 \le X \le 2) = \binom{4}{1} 0{,}5^{1}\, 0{,}5^{3} + \binom{4}{2} 0{,}5^{2}\, 0{,}5^{2}$$
4. $$= 0{,}25 + 0{,}375 = 0{,}625$$

5. Beklenen (ortalama) başarı sayısı n·p = 2, varyans n·p·q = 1.

Galton kutusu: binomdan normale

Galton kutusunda bilye her çiviye çarptığında yarı yarıya ihtimalle sola ya da sağa sapar. 10 sıra çividen geçen bir bilye için bu, 10 denemeli bir binom deneyidir: bilyenin düştüğü kutu, kaç kez sağa saptığını gösterir.

Birkaç bilye bırak, sonra 500 bilye bırak. Kutularda biriken şekil bir çana dönüşür. Bunun nedeni, çok sayıda küçük ve bağımsız etkenin toplamının normal dağılıma yaklaşmasıdır. Bir bitkinin boyu da tıpkı böyle onlarca genin, toprağın, suyun ve sıcaklığın küçük etkilerinin toplamıdır. Doğada ölçülen değerlerin çoğunun normal dağılım göstermesinin sebebi budur.

Çivi sırası46810121416Sağa sapma olasılığı0,5 (düz tahta)0,3 (sola eğik)0,7 (sağa eğik)

1 bilye bırak20 bilye500 bilyeSıfırla

Bırakılan bilye: 0. Çubuklar gözlenen bilye sayıları, kırmızı noktalar binom dağılımının beklediği sayılar (n = 10, p = 0,5). Bilye sayısı arttıkça ikisi örtüşür.

Poisson dağılımı

Ne zaman kullanılır? Belli bir zaman aralığında ya da alanda bir olayın kaç kez olduğunu sayıyorsan ve olay nadir görülüyorsa: bir yapraktaki leke sayısı, bir dekardaki yabancı ot sayısı, bir ayda çıkan arıza sayısı.

Binomdan farkı, deneme sayısının belli olmamasıdır. Yapraktaki “leke olabilecek nokta” sayısı neredeyse sonsuzdur ve her birinde leke çıkma olasılığı çok küçüktür. Elinde olan tek bilgi ortalama olay sayısıdır ($\lambda$):

$$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\, \lambda^k}{k!}$$

Poisson’un ayırt edici özelliği ortalama ile varyansın eşit olmasıdır. Sayım verilerinde varyans ortalamadan çok büyük çıkıyorsa olaylar kümeleniyor demektir (ör. hastalık yayılıyor). Bu durumda veri Poisson’a uymaz.

Örnek:Uçak inişiYaprak lekesiArıza

Bir havalimanına her 15 dakikada ortalama 3 uçak iniyor. Herhangi bir 15 dakikada en fazla 2 uçak inme olasılığı nedir?

Ortalama olay sayısı (λ)ArananTam olarakEn fazlaEn azArasındaDeğer (k)

Koyu çubuklar hesaba katılan değerler; kesikli çizgi ortalama (3). Çubukların üzerine gelince olasılığı görünür.

Sonuç

$P(X \le 2)$ = 0,4232

1. Belli bir zaman ya da alanda ortalama λ olay oluyorsa, tam k olay olma olasılığı:

   $$P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda}\, \lambda^{k}}{k!}$$
2. $$\lambda = 3, \quad e^{-\lambda} = e^{-3} = 0{,}049787$$
3. $$P(X \le 2) = \dfrac{e^{-3}\, 3^{0}}{0!} + \dfrac{e^{-3}\, 3^{1}}{1!} + \dfrac{e^{-3}\, 3^{2}}{2!}$$
4. $$= 0{,}0498 + 0{,}1494 + 0{,}224 = 0{,}4232$$

5. Poisson dağılımında ortalama ve varyans eşittir: ikisi de λ = 3.

Normal dağılım ve Z puanı

Normal dağılım ortalama etrafında simetrik, çan şeklinde bir eğridir ve iki sayıyla tamamen tanımlanır: ortalama ($\mu$) ve standart sapma ($\sigma$). Bu iki sayıyı bildiğinde aşağıdaki kural her normal dağılım için geçerlidir:

Aralık	Verinin yaklaşık yüzde kaçı?
$\mu \pm 1\sigma$	%68
$\mu \pm 2\sigma$	%95
$\mu \pm 3\sigma$	%99,7

Ortalama boyu 210 cm, standart sapması 15 cm olan bir mısır çeşidinde bitkilerin yaklaşık %95’i 180 ile 240 cm arasındadır. 250 cm’lik bir bitki görürsen bunun olağan dışı olduğunu hemen anlarsın.

Z puanı ne işe yarar?

Her normal dağılımın kendi ortalaması ve birimi vardır. Hepsi için ayrı tablo basmak yerine değerler Z puanına çevrilir: “bu değer ortalamadan kaç standart sapma uzakta?”

$$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$$

Z puanının ikinci faydası, farklı ölçekleri karşılaştırmaktır. Bir öğrenci istatistikten 70 (sınıf ortalaması 60, standart sapma 10), genetikten 80 (ortalama 76, standart sapma 8) almış. Hangi derste sınıfına göre daha başarılı?

$$z_{\text{istatistik}} = \frac{70 - 60}{10} = 1{,}0 \qquad z_{\text{genetik}} = \frac{80 - 76}{8} = 0{,}5$$

Ham not genetikte daha yüksek ama öğrenci istatistikte sınıfının çok daha üstünde. T puanı ($T = 50 + 10z$) aynı fikrin negatif sayı ve ondalık içermeyen hâlidir: istatistik için 60, genetik için 55.

Örnek:Bitki boyuSınav notuTablo okuma

Bir mısır çeşidinde bitki boyu ortalama 210 cm, standart sapma 15 cm olan normal dağılım gösteriyor. Rastgele bir bitkinin 240 cm’den uzun olma olasılığı nedir?

Ortalama (μ)Standart sapma (σ)ArananKüçük olmaBüyük olmaArasında olmaDeğer (x)

Boyalı alan aranan olasılıktır. Eğrinin altındaki toplam alan 1’dir.

Sonuç

$P(X > 240)$ = 0,0228

1. Önce değer(ler) Z puanına çevrilir: ortalamadan kaç standart sapma uzakta?

2. $$z = \dfrac{x - \mu}{\sigma} = \dfrac{240 - 210}{15} = 2$$

3. Tablodan okuma (z = 2): sol kuyruk tablosunda 0,9772, (0, z) tablosunda 0,4772.

4. Sağ taraftaki alan, toplam alan olan 1’den sol taraf çıkarılarak bulunur.

   $$P(Z > 2) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228$$

5. Sonuç yüzde olarak: %2,28.

Aynı değerin T puanı: 50 + 10·z = 70. T puanı negatif sayılardan kurtulmak için kullanılır; ortalaması 50, standart sapması 10’dur.

t, χ² ve F dağılımları: test istatistikleri

Bu üç dağılım doğadaki bir ölçümü değil, örnekten hesaplanan test istatistiklerini tanımlar. Görevleri şu soruyu cevaplamaktır: “Gerçekte hiç fark yoksa, sırf şansla bu kadar büyük bir test değeri görme olasılığı nedir?”

Bunun için önce bir yanılma olasılığı ($\alpha$) seçilir. Derste “ihmal sınırı” olarak geçer ve genellikle %5 ya da %1 alınır. Dağılım eğrisinin uçlarında toplam alanı $\alpha$ olan bölgeye red bölgesi, sınırlarına da kritik değer denir. Hesapladığın test istatistiği red bölgesine düşerse “bu fark şansla açıklanamaz” der ve farkın önemli olduğuna karar verirsin.

Serbestlik derecesi eğrinin şeklini belirler. t dağılımı küçük örneklerde normalden daha yayvandır ve kuyrukları kalındır. Örnek büyüdükçe Z’ye yaklaşır. Aşağıda serbestlik derecesini 2’den 100’e çıkarıp kritik değerin 1,96’ya nasıl yaklaştığını izleyebilirsin.

Dağılım

Z (standart normal)tχ² (ki-kare)F

Ne zaman? Popülasyon standart sapması bilinmiyor ve örnek küçükse; iki çeşidin ortalamasını karşılaştırmak gibi.

Serbestlik derecesi (sd)Yanılma olasılığı (α)%10 (0,10)%5 (0,05)%1 (0,01)DiğerKuyrukÇift kuyrukSağ kuyrukSol kuyrukTest istatistiği (isteğe bağlı)

Kırmızı alanlar red bölgesi; toplam alanları α’ya eşit. Serbestlik derecesini değiştirip eğrinin şeklinin nasıl değiştiğine bak.

Kritik değer

$t_{21}$ ± 2,08

1. Çift kuyruklu testte α = 0,05 iki uca eşit bölünür; her kuyrukta 0,025 kalır.

   $$\dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{0{,}05}{2} = 0{,}025$$

2. Dağılım simetrik olduğu için iki sınır işaret dışında aynıdır.

   $$t_{21} = \pm 2{,}08$$

3. Test istatistiği bu sınırların dışına düşerse H₀ reddedilir.

Dağılımın şekli: çarpıklık ve basıklık

Gerçek veriler her zaman simetrik değildir. Zor bir sınavda notların çoğu düşük tarafta yığılır, birkaç yüksek not sağa doğru uzanan bir kuyruk oluşturur. Buna sağa (pozitif) çarpık dağılım denir ve bu durumda mod < medyan < ortalama olur. Kolay bir sınavda ise tersi görülür: sola (negatif) çarpık dağılım, ortalama < medyan < mod.

Basıklık, dağılımın normale göre ne kadar sivri ya da yayvan olduğunu gösterir. Normal dağılımda moment basıklık katsayısı 3’tür. 3’ten büyükse sivri, küçükse basık dağılımdan söz edilir.

Kendi verinin çarpıklık ve basıklığını Bölüm 3’teki hesaplayıcıda görebilirsin.