Fark gerçek mi?

Mahkeme gibi düşün

Yeni bir buğday çeşidi denemede eski çeşitten 35 kg/da fazla verdi. Bu fark yeni çeşidin gerçekten daha iyi olmasından mı geliyor, yoksa parseller arasındaki doğal farklardan, yani şanstan mı?

Hipotez testi bu soruya bir mahkeme gibi yaklaşır. Sanık suçu kanıtlanana kadar masumdur. Testte de “fark yok” iddiası, aksi kanıtlanana kadar doğru kabul edilir:

• Sıfır hipotezi ($H_0$): Fark yok. Çeşitlerin gerçek ortalamaları eşit; gördüğün fark şanstan.
• Alternatif hipotez ($H_1$): Fark var.

Veri, “fark yok” iddiasıyla bağdaşmayacak kadar büyük bir fark gösteriyorsa $H_0$ reddedilir. Kanıt yetersizse $H_0$ reddedilemez. Bu, $H_0$‘ın doğru olduğu anlamına gelmez. Tıpkı beraat kararının “kesin masum” demek olmaması gibi, sadece “fark olduğunu gösterecek kadar kanıt yok” demektir.

Bir test beş adımda yapılır

1. Hipotezleri kur. $H_0: \mu_1 = \mu_2$, $H_1: \mu_1 \neq \mu_2$.
2. Yanılma olasılığını ($\alpha$) seç. Genellikle %5. Bu, “fark yokken fark var deme” riskini en fazla %5’te tutmak demektir.
3. Test istatistiğini hesapla. Gözlenen farkın, şanstan beklenen değişkenliğe göre ne kadar büyük olduğunu ölçen sayı: t, χ² ya da F.
4. Tablo değeriyle karşılaştır. Hesaplanan değer kritik değeri aşarsa red bölgesindesin.
5. Kararı ver ve sahadaki anlamıyla yaz. “H₀ reddedildi” yetmez: “yeni çeşit eski çeşitten %5 düzeyinde önemli derecede fazla verim verdi” gibi.

Kararın iki yanlış yolu var

	Gerçekte fark yok ($H_0$ doğru)	Gerçekte fark var ($H_0$ yanlış)
H₀ reddedildi	I. tip hata (olasılığı $\alpha$). Etkisiz bir gübreyi etkili sanıp çiftçiye önerirsin.	Doğru karar
H₀ reddedilemedi	Doğru karar	II. tip hata. Gerçekten daha iyi bir çeşidi gözden kaçırırsın.

$\alpha$‘yı küçültmek (%1 seçmek) I. tip hatayı azaltır ama gerçek farkları kaçırma riskini artırır. İkisini birden azaltmanın yolu, daha fazla tekerrürle daha çok veri toplamaktır.

p-değeri ne söyler, ne söylemez?

p-değeri: Gerçekte hiç fark olmasaydı, sırf şansla en az bu kadar büyük bir fark görme olasılığı. p = 0,02 ise, fark olmayan bir dünyada bu sonucu ancak 50 denemenin 1’inde görürdün. Bu kadar nadir bir sonuç, “fark yok” iddiasından şüphelenmen için yeterli sebeptir.

p-değeri α’dan küçükse $H_0$ reddedilir. Bu, tablo değeriyle karşılaştırmakla aynı kararı verir; sadece daha fazla bilgi taşır.

Çift kuyruk mu, tek kuyruk mu?

Sadece “fark var mı?” diye soruyorsan çift kuyruklu test yaparsın: fark iki yönde de olabilir. Deneme kurulmadan önce yönü belli bir sorun varsa (“bu gübre verimi artırıyor mu?”) tek kuyruklu test kullanılabilir. Yönü veriye baktıktan sonra seçmek ise hile sayılır, çünkü p-değerini yapay olarak yarıya indirir.

Hangi test?

Sorun	Veri	Test
Bir grubun ortalaması belli bir değerden farklı mı?	Ölçüm	Tek örneklem t testi
İki bağımsız grubun ortalaması farklı mı?	Ölçüm	Bağımsız iki örneklem t testi
Aynı birimlerde iki ölçüm farklı mı?	Ölçüm, eşli	Eşleştirilmiş t testi
Üç ya da daha fazla grubun ortalaması farklı mı?	Ölçüm	Varyans analizi
Sayımlar beklenen oranlara uyuyor mu?	Sayım	Ki-kare uyum testi
İki sınıflama özelliği ilişkili mi?	Sayım	Ki-kare bağımsızlık testi
İki ölçüm birlikte değişiyor mu?	Ölçüm çiftleri	Korelasyon

t testleri

t testinin mantığı hep aynıdır: gözlenen fark ÷ şanstan beklenen değişkenlik. Pay büyüdükçe ya da payda küçüldükçe t büyür ve farkın şansla açıklanması zorlaşır. Payda (standart hata) iki şekilde küçülür: daha az değişken veriyle ya da daha çok gözlemle.

Eşleştirilmiş test neden daha güçlü? Aynı parselin iki yarısını karşılaştırdığında, parseller arasındaki toprak, eğim ve nem farkları iki ölçümü de aynı şekilde etkiler. Farklar alınınca bu değişkenlik hesaptan çıkar ve gübrenin etkisi daha net görünür. Aşağıdaki “Eşleştirilmiş” örneğinde farklar yalnızca 2–5 cm ama hepsi aynı yönde; bu yüzden t çok büyük çıkıyor.

Test türü

Tek örneklemBağımsız iki örneklemEşleştirilmiş

Soru: Birbirinden bağımsız iki grubun (iki çeşit, iki bölge) ortalamaları farklı mı?
Örnek: İki buğday çeşidi sekizer parselde denendi (kg/da). Çeşitlerin verimi farklı mı?

Çeşit A520, 548, 495, 562, 530, 541, 508, 553

n = 8, ortalama 532,13

Çeşit B488, 512, 470, 505, 497, 480, 515, 492

n = 8, ortalama 494,88

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)Alternatif hipotez1. ≠ 2. (farklı)1. > 2.1. < 2.VaryanslarEşit kabul etEşit değil (Welch)

$H_0: \mu_1 = \mu_2$$H_1: \mu_1 \neq \mu_2$

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

İki grubun ortalaması arasındaki fark (37,25) istatistik olarak önemli. Fark şansla açıklanamaz.

p-değeri = 0,0021 (%1 düzeyinde önemli, **)

Nasıl hesaplandı?

$t_{hes}$ = 3,768

1. Her grubun ortalaması ve varyansı hesaplanır.

   $$\bar{x}_1 = 532{,}125,\quad s_1^2 = 538{,}6964,\quad n_1 = 8$$
2. $$\bar{x}_2 = 494{,}875,\quad s_2^2 = 242{,}9821,\quad n_2 = 8$$

3. Varyanslar eşit kabul edildiği için iki grubun varyansı birleştirilir (ortak varyans).

   $$s_p^2 = \dfrac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \dfrac{7\cdot 538{,}6964 + 7\cdot 242{,}9821}{14} = 390{,}8393$$

4. Farkın standart hatası:

   $$S_{\bar{x}_1-\bar{x}_2} = \sqrt{s_p^2\left(\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}\right)} = 9{,}8848$$

5. İki ortalama arasındaki fark, kaç standart hata ediyor?

   $$t = \dfrac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{S_{\bar{x}_1-\bar{x}_2}} = \dfrac{532{,}125 - 494{,}875}{9{,}8848} = 3{,}768$$

6. Serbestlik derecesi n₁ + n₂ − 2 = 14.

7. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

   $$|t_{hes}| = 3{,}768 > t_{tab} = 2{,}145$$

8. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (0,0021) α = 0,05 değerinden küçük.

Güven aralığı

Hipotez testi “fark var mı?” sorusunu evet/hayır olarak cevaplar. Güven aralığı ise “gerçek değer büyük olasılıkla hangi aralıkta?” sorusunu cevaplar ve bu yüzden genellikle daha bilgilendiricidir. Tek örneklem testinde %95 güven aralığı test edilen değeri ($\mu_0$) içermiyorsa, %5 düzeyinde yapılan çift kuyruklu test de $H_0$‘ı reddeder. İki yöntem aynı sonuca farklı yoldan varır.

Ki-kare testleri

Veri ölçüm değil de sayım olduğunda (kaç bitki hastalandı, kaç tohum sarı çıktı) ortalama karşılaştırılamaz. Bunun yerine gözlenen sayılar, beklenen sayılarla karşılaştırılır:

$$\chi^2 = \sum \frac{(G - B)^2}{B}$$

Her sınıfta gözlenen (G) ile beklenen (B) arasındaki fark büyüdükçe $\chi^2$ büyür. Farkın karesi alındığı için yön önemli değildir. Bu yüzden ki-kare testi her zaman sağ kuyrukludur.

• Uyum testi: Sayımlar bir teorinin öngördüğü oranlara uyuyor mu? Mendel’in 9:3:3:1 oranı klasik örnektir. Bitki ıslahında açılım oranlarını kontrol etmek için hâlâ kullanılır.
• Bağımsızlık testi: İki sınıflama özelliği birbirini etkiliyor mu? Hastalık görülme oranı çeşide göre değişiyor mu?

Test türü

Uyum testiBağımsızlık testi

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)

Soru: Gözlenen sayımlar, teorinin beklediği oranlara uyuyor mu?
Örnek: Mendel’in bezelye denemesi: yuvarlak-sarı, yuvarlak-yeşil, buruşuk-sarı ve buruşuk-yeşil tohum sayıları. Kalıtım teorisine göre oran 9:3:3:1 olmalı. Veri bu orana uyuyor mu?

Sınıf	Gözlenen (G)	Beklenen oran	Beklenen (B)	Sil
			312,75	×
			104,25	×
			104,25	×
			34,75	×

Sınıf ekle

$H_0: \text{Gözlenen dağılım beklenen oranlara uyuyor}$$H_1: \text{Uymuyor}$

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedilemedi: fark önemli değil

Gözlenen frekanslar ile beklenen oranlar arasındaki fark şansla açıklanabilir; veri bu oranlara uyuyor.

p-değeri = 0,9254

Nasıl hesaplandı?

$\chi^2_{hes}$ = 0,47

1. Beklenen frekanslar: toplam gözlem (556) oranlara göre paylaştırılır.

   $$E_i = n \cdot \dfrac{\text{oran}_i}{\sum \text{oran}} \Rightarrow 312{,}75,\ 104{,}25,\ 104{,}25,\ 34{,}75$$

2. Her sınıfta gözlenen ile beklenen arasındaki farkın karesi beklenen değere bölünür ve toplanır.

   $$\chi^2 = \sum \dfrac{(G - B)^2}{B} = \dfrac{(315 - 312{,}75)^2}{312{,}75} + \dfrac{(108 - 104{,}25)^2}{104{,}25} + \dfrac{(101 - 104{,}25)^2}{104{,}25} + \dfrac{(32 - 34{,}75)^2}{34{,}75}$$
3. $$\chi^2 = 0{,}016 + 0{,}135 + 0{,}101 + 0{,}218 = 0{,}47$$

4. Serbestlik derecesi sınıf sayısı − 1 = 3. Ki-kare testi her zaman sağ kuyrukludur: sadece büyük sapmalar uyumsuzluk gösterir.

5. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

   $$\chi^2_{hes} = 0{,}47 \le \chi^2_{tab} = 7{,}815$$

6. Hesaplanan değer kabul bölgesinde: H₀ reddedilemez. p-değeri (0,9254) α = 0,05 değerinden küçük değil.