Birden çok muameleyi karşılaştırmak

Neden t testini tekrar tekrar yapmıyoruz?

Dört azot dozunu karşılaştırmak istiyorsun. İkişer ikişer t testi yapsan 6 karşılaştırma gerekir. Her birinde %5 yanılma riski varsa, en az birinde yanlışlıkla “fark var” deme olasılığın %5 değil, yaklaşık %26 olur:

$$1 - 0{,}95^6 \approx 0{,}26$$

Karşılaştırma sayısı arttıkça bu risk hızla büyür. Varyans analizi (ANOVA) tüm grupları tek bir testle karşılaştırır ve yanılma riskini %5’te tutar. Tarla denemelerinin neredeyse hepsi bu yüzden varyans analiziyle değerlendirilir.

Fikir: gruplar arası ve grup içi değişkenlik

Bir denemedeki toplam değişkenliğin iki kaynağı vardır:

• Muamele (gruplar arası): Farklı azot dozlarının farklı verim vermesi. Bulmak istediğimiz etki budur.
• Hata (grup içi): Aynı dozu alan parsellerin bile farklı verim vermesi. Toprak, nem, ölçüm farkları gibi kontrol edemediğimiz her şey; yani şans.

F değeri bu ikisinin oranıdır:

$$F = \frac{\text{Muamele kareler ortalaması}}{\text{Hata kareler ortalaması}}$$

Azotun hiç etkisi yoksa gruplar arası farklar da şanstan ibarettir ve F 1 civarında çıkar. F, 1’den ne kadar büyükse muamelenin etkisi şansa göre o kadar baskındır. Ne kadar büyük olması gerektiğini F tablosu söyler.

Deneme nasıl kurulmuş olmalı?

Burada hesaplanan model tesadüf parselleri deneme deseni içindir. Bu desende muameleler parsellere tamamen rastgele dağıtılır ve her muamele birkaç parselde tekrarlanır (tekerrür). Bu kurulumun iki şartı vardır:

• Tekerrür: Her muamele en az 2, tercihen 3–4 parselde denenmeli. Tek parselle hata değişkenliği ölçülemez.
• Randomizasyon: Muamelelerin parsellere rastgele dağıtılması. Yoksa tarlanın verimli köşesine düşen doz haksız avantaj kazanır.

Bu desen ancak tarla homojense, yani parseller arasında muamele dışında sistematik bir fark yoksa uygundur. Tarla homojen değilse (eğim, sulama hattı yönü, eski tarla sınırı) tesadüf blokları deseni kullanılır.

Soru: Üç ya da daha fazla muamele (gübre dozu, çeşit, sulama aralığı) arasında fark var mı? Varsa hangileri birbirinden farklı?
Örnek: Dört farklı azot dozu (kg/da) dörder tekerrürlü olarak tesadüf parselleri deneme deseninde denendi. Verim (kg/da) ölçüldü. Azot dozları arasında fark var mı?

n = 4×

n = 4×

n = 4×

n = 4×

Muamele ekle

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_{4}$$H_1: \text{En az bir ortalama diğerlerinden farklı}$

Varyans analizi tablosu

Varyasyon kaynağı	SD	KT	KO	F
Muamele	3	23053,19	7684,4	65,67 **
Hata	12	1404,25	117,02
Genel	15	24457,44

SD: serbestlik derecesi, KT: kareler toplamı, KO: kareler ortalaması. * %5, ** %1 düzeyinde önemli, ö.d.: önemli değil. VK = %2,97.

Muamele ortalamaları

Muamele	Ortalama	Grafik
0 kg N	308 c
5 kg N	351,25 b
10 kg N	396,25 a
15 kg N	401,75 a

Karşılaştırma yöntemiDuncanLSDTukey HSD

Duncan (%5) kritik aralıkları: R2 = 16,67, R3 = 17,44, R4 = 17,92. Aynı harfi paylaşan ortalamalar arasındaki fark önemli değildir.

İkili karşılaştırmalar: Duncan çoklu aralık testi

Ortalamalar sıralanır; birbirinden uzak olanlar için daha büyük, yakın olanlar için daha küçük kritik fark kullanılır. Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın kullanılan yöntemdir.

1. Ortalamalar büyükten küçüğe sıralanır. İki ortalama arasında kaç ortalama kaldığına (p) göre farklı bir kritik aralık kullanılır.

   $$R_p = q_{\alpha_p;\,p;\,12} \sqrt{\dfrac{HKO}{4}}, \qquad \alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}$$

2. Kritik aralıklar:

   $$R_{2} = 16{,}67,\quad R_{3} = 17{,}44,\quad R_{4} = 17{,}92$$

3. Daha geniş bir aralıktaki fark önemsizse, o aralığın içinde kalan ortalamalar arasındaki farklar da önemsiz sayılır.

4. Farkı kritik değerden küçük olan ortalamalar aynı harfi alır. 5 / 6 çift arasındaki fark önemli.

Karşılaştırma	Fark	p	Kritik fark	Sonuç
0 kg N – 5 kg N	43,25	2	16,67	Fark önemli
0 kg N – 10 kg N	88,25	3	17,44	Fark önemli
0 kg N – 15 kg N	93,75	4	17,92	Fark önemli
5 kg N – 10 kg N	45	2	16,67	Fark önemli
5 kg N – 15 kg N	50,5	3	17,44	Fark önemli
10 kg N – 15 kg N	5,5	2	16,67	Fark önemsiz

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

Muameleler arasındaki fark istatistik olarak önemli: en az bir grubun ortalaması diğerlerinden farklı. Hangi grupların farklı olduğunu görmek için LSD tablosuna bak.

p < 0,0001 (%1 düzeyinde önemli, **)

Nasıl hesaplandı?

$F_{hes}$ = 65,667

1. Düzeltme terimi (DT): genel toplamın karesi gözlem sayısına bölünür.

   $$DT = \dfrac{(\sum X)^2}{N} = \dfrac{5829^2}{16} = 2123577{,}56$$

2. Genel kareler toplamı: tüm gözlemlerin toplam değişkenliği.

   $$GKT = \sum X^2 - DT = 2148035 - 2123577{,}56 = 24457{,}44$$

3. Muamele kareler toplamı: gruplar arası farklardan gelen değişkenlik.

   $$MKT = \dfrac{1232^2 + 1405^2 + 1585^2 + 1607^2}{4} - DT = 23053{,}19$$

4. Hata kareler toplamı: grupların kendi içindeki (şansa bağlı) değişkenlik.

   $$HKT = GKT - MKT = 24457{,}44 - 23053{,}19 = 1404{,}25$$

5. Kareler toplamları serbestlik derecelerine bölünerek kareler ortalaması bulunur.

   $$MKO = \dfrac{MKT}{k-1} = \dfrac{23053{,}19}{3} = 7684{,}396$$
6. $$HKO = \dfrac{HKT}{N-k} = \dfrac{1404{,}25}{12} = 117{,}021$$

7. F: gruplar arası değişkenliğin grup içi değişkenliğe oranı. Muamelenin etkisi yoksa 1 civarında çıkar.

   $$F = \dfrac{MKO}{HKO} = \dfrac{7684{,}396}{117{,}021} = 65{,}667$$

8. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

   $$F_{hes} = 65{,}667 > F_{tab} = 3{,}49$$

9. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (< 0,0001) α = 0,05 değerinden küçük.

10. Denemenin varyasyon katsayısı, denemenin ne kadar hassas yürütüldüğünü gösterir.

    $$VK = \dfrac{\sqrt{HKO}}{\bar{X}} \cdot 100 = \dfrac{10{,}818}{364{,}313} \cdot 100 = \%2{,}97$$

Tarla homojen değilse: tesadüf blokları deseni

Gerçek tarlalar nadiren homojendir. Eğimli bir tarlada etekteki parseller tepedekilerden daha nemli ve verimlidir. Sulama hattının başındaki parseller sonundakilerden fazla su alır. Muameleleri böyle bir tarlaya tamamen rastgele dağıtırsan iki sorun çıkar:

• Şansına bir çeşidin parselleri çoğunlukla eteğe düşebilir ve o çeşit olduğundan iyi görünür.
• Tepe ile etek arasındaki büyük fark hata değişkenliğine karışır. Hata şişince F küçülür ve gerçek muamele farkları gözden kaybolur.

Tesadüf blokları deseni bu soruna şöyle çözüm getirir:

1. Tarla, değişkenliğin yönüne dik şeritlere (bloklara) bölünür. Eğimli bir tarlada her blok aynı yükseklikte kalan bir şerittir. Böylece blok içindeki parseller birbirine benzer olur.
2. Her blokta her muamele bir kez yer alır. Blok sayısı tekerrür sayısına eşittir.
3. Muameleler her bloğun kendi içinde rastgele dağıtılır.

Analizde toplam değişkenlik bu kez üçe ayrılır: blok, muamele ve hata. Tepe ile etek arasındaki fark artık blok kareler toplamına gider, hatadan çıkar. Hata küçülünce muamele farkları çok daha net görünür:

$$GKT = BKT + MKT + HKT$$

Aşağıdaki örnekte 5 buğday çeşidi eğimli bir tarlada 4 blokta denenmiş. Bloklar ayrılınca çeşitler arasındaki fark %1 düzeyinde önemli çıkıyor. Hesaplayıcının altındaki kutuda aynı verinin bloklar yok sayılarak analiz edildiği sonucu da var: bu durumda fark önemli çıkmıyor (p ≈ 0,30). Aynı veri, iki farklı karar. Aradaki tek fark, deneme deseninin analizde hesaba katılıp katılmaması.

Soru: Tarla homojen değilken muameleler arasında fark var mı? Blokların etkisi ayrıldıktan sonra hangi muameleler farklı?
Örnek: Beş buğday çeşidi eğimli bir tarlada 4 blokta denendi. Bloklar eğim yönüne dik kuruldu: 1. blok tepede, 4. blok etekte. Verim (kg/da) ölçüldü. Çeşitler arasında fark var mı?

Muamele					Toplam
					2051
					2140
					1992
					2233
					2044
Blok toplamı	2362	2582	2677	2839	10460

Muamele ekleBlok ekleSon muameleyi silSon bloğu silExcel’den yapıştır

Bir parsel kaybolduysa (hayvan, sel, ölçüm hatası) hücresini boş bırak; değeri tahmin edilir.

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)

$H_0: \mu_1 = \mu_2 = \cdots = \mu_{5}$$H_1: \text{En az bir muamele ortalaması farklı}$

Varyans analizi tablosu

Varyasyon kaynağı	SD	KT	KO	F
Blok	3	23823,6	7941,2	64,05 **
Muamele	4	9042,5	2260,63	18,23 **
Hata	12	1487,9	123,99
Genel	19	34354

SD: serbestlik derecesi, KT: kareler toplamı, KO: kareler ortalaması. * %5, ** %1 düzeyinde önemli, ö.d.: önemli değil. VK = %2,13.

Muamele ortalamaları

Muamele	Ortalama	Grafik
Çeşit 1	512,75 c
Çeşit 2	535 b
Çeşit 3	498 c
Çeşit 4	558,25 a
Çeşit 5	511 c

Karşılaştırma yöntemiDuncanLSDTukey HSD

Duncan (%5) kritik aralıkları: R2 = 17,16, R3 = 17,96, R4 = 18,44, R5 = 18,76. Aynı harfi paylaşan ortalamalar arasındaki fark önemli değildir.

İkili karşılaştırmalar: Duncan çoklu aralık testi

Ortalamalar sıralanır; birbirinden uzak olanlar için daha büyük, yakın olanlar için daha küçük kritik fark kullanılır. Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın kullanılan yöntemdir.

1. Ortalamalar büyükten küçüğe sıralanır. İki ortalama arasında kaç ortalama kaldığına (p) göre farklı bir kritik aralık kullanılır.

   $$R_p = q_{\alpha_p;\,p;\,12} \sqrt{\dfrac{HKO}{4}}, \qquad \alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}$$

2. Kritik aralıklar:

   $$R_{2} = 17{,}16,\quad R_{3} = 17{,}96,\quad R_{4} = 18{,}44,\quad R_{5} = 18{,}76$$

3. Daha geniş bir aralıktaki fark önemsizse, o aralığın içinde kalan ortalamalar arasındaki farklar da önemsiz sayılır.

4. Farkı kritik değerden küçük olan ortalamalar aynı harfi alır. 7 / 10 çift arasındaki fark önemli.

Karşılaştırma	Fark	p	Kritik fark	Sonuç
Çeşit 1 – Çeşit 2	22,25	2	17,16	Fark önemli
Çeşit 1 – Çeşit 3	14,75	3	17,96	Fark önemsiz
Çeşit 1 – Çeşit 4	45,5	3	17,96	Fark önemli
Çeşit 1 – Çeşit 5	1,75	2	17,16	Fark önemsiz
Çeşit 2 – Çeşit 3	37	4	18,44	Fark önemli
Çeşit 2 – Çeşit 4	23,25	2	17,16	Fark önemli
Çeşit 2 – Çeşit 5	24	3	17,96	Fark önemli
Çeşit 3 – Çeşit 4	60,25	5	18,76	Fark önemli
Çeşit 3 – Çeşit 5	13	2	17,16	Fark önemsiz
Çeşit 4 – Çeşit 5	47,25	4	18,44	Fark önemli

Blok yapmak işe yaradı mı?

Bloklar arasındaki fark önemli (F = 64,05, p < 0,0001): tarlada gerçekten bir eğilim varmış ve blok bu değişkenliği hatadan ayırmış.

Göreli etkinlik: 10,95. Aynı hassasiyeti tesadüf parselleri deseniyle yakalamak için yaklaşık 11 kat fazla tekerrür gerekirdi.

Aynı veri bloklar yok sayılarak (tesadüf parselleri gibi) analiz edilseydi: F = 1,34, p = 0,3009, yani muamele farkı önemli çıkmazdı. Blok değişkenliği hataya karışıp gerçek farkı gizlerdi.

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

Blok etkisi ayrıldıktan sonra muameleler arasındaki fark istatistik olarak önemli. Hangi muamelelerin farklı olduğu harflerle gösterildi.

p < 0,0001 (%1 düzeyinde önemli, **)

Nasıl hesaplandı?

$F_{hes}$ = 18,232

1. Düzeltme terimi (DT): genel toplamın karesi gözlem sayısına bölünür.

   $$DT = \dfrac{(\sum X)^2}{t \cdot r} = \dfrac{10460^2}{5 \cdot 4} = 5470580$$

2. Genel kareler toplamı: tüm parsellerin toplam değişkenliği.

   $$GKT = \sum X^2 - DT = 34354$$

3. Blok kareler toplamı: blok toplamlarının kareleri muamele sayısına bölünür. Tarladaki eğim, toprak ya da nem farkından gelen değişkenlik.

   $$BKT = \dfrac{2362^2 + 2582^2 + 2677^2 + \cdots}{5} - DT = 23823{,}6$$

4. Muamele kareler toplamı: muamele toplamlarının kareleri blok sayısına bölünür.

   $$MKT = \dfrac{2051^2 + 2140^2 + 1992^2 + \cdots}{4} - DT = 9042{,}5$$

5. Hata kareler toplamı: genelden blok ve muamele payı çıkarılınca kalan, gerçekten şansa bağlı kısım.

   $$HKT = GKT - BKT - MKT$$
6. $$HKT = 34354 - 23823{,}6 - 9042{,}5 = 1487{,}9$$

7. Serbestlik dereceleri: blok r − 1, muamele t − 1, hata (t − 1)(r − 1).

   $$sd_B = 3, \quad sd_M = 4, \quad sd_H = 4 \cdot 3 = 12$$

8. Kareler ortalamaları:

   $$MKO = \dfrac{9042{,}5}{4} = 2260{,}625$$
9. $$HKO = \dfrac{1487{,}9}{12} = 123{,}992$$

10. Muameleler için F değeri:

    $$F = \dfrac{MKO}{HKO} = \dfrac{2260{,}625}{123{,}992} = 18{,}232$$

11. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

    $$F_{hes} = 18{,}232 > F_{tab} = 3{,}259$$

12. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (< 0,0001) α = 0,05 değerinden küçük.

13. Denemenin varyasyon katsayısı:

    $$VK = \dfrac{\sqrt{HKO}}{\bar{X}} \cdot 100 = \dfrac{11{,}135}{523} \cdot 100 = \%2{,}13$$

Kayıp parsel

Hayvan zararı, su baskını ya da bir ölçüm hatası yüzünden bir parselin verisi kaybolabilir. Tesadüf blokları deseninde bu bir sorundur, çünkü hesap her muamelenin her blokta bulunduğunu varsayar. Çözüm, kayıp parselin değerini o muamelenin ve o bloğun diğer parsellerinden tahmin etmektir (Yates formülü):

$$X = \frac{t \cdot T + r \cdot B - G}{(t-1)(r-1)}$$

Burada $T$ kayıp parselin muamelesindeki, $B$ ise bloğundaki bilinen değerlerin toplamıdır. $G$, bilinen bütün parsellerin toplamıdır. Tahmin, “bu muamele ve bu blok için beklenecek değer” demektir ve hata kareler toplamına hiçbir katkı yapmaz. Sonra analiz normal şekilde yapılır, iki düzeltmeyle:

• Tahmin edilen değer gerçek bir ölçüm olmadığı için hata serbestlik derecesinden 1 düşülür.
• Tahmin, muamele kareler toplamını biraz büyük gösterir. Bu sapma hesaplanıp muamele KT’sinden çıkarılır.

Hesaplayıcıda bir hücreyi boş bırakman yeterli; tahmin edilen değer hücrede soluk olarak görünür. Birden çok parsel kaybolursa formül, tahminler değişmeyene kadar her biri için sırayla tekrarlanır. Ama kayıp sayısı arttıkça denemenin güvenilirliği azalır.

Göreli etkinlik

Blok yapmanın ne kadar kazanç sağladığı göreli etkinlik ile ölçülür. Örnekteki göreli etkinlik yaklaşık 11’dir. Bu, aynı hassasiyeti tesadüf parselleri deseniyle yakalamak için yaklaşık 11 kat fazla tekerrür gerektiği anlamına gelir. Göreli etkinlik 1’e yakın çıkarsa tarla zaten homojenmiş ve blok yapmak bir şey kazandırmamış demektir. Bunun da bir bedeli vardır: hata serbestlik derecesi azaldığı için tablo değeri biraz büyür.

F önemli çıktı, sonra?

F testi yalnızca “en az bir grup farklı” der; hangisinin farklı olduğunu söylemez. Bunun için çoklu karşılaştırma yapılır. Mantık her yöntemde aynıdır: iki ortalama arasındaki fark bir kritik farktan büyükse bu iki muamele birbirinden farklıdır. Yöntemleri ayıran, bu kritik farkın ne kadar büyük seçildiğidir.

Yöntem	Kritik fark	Ne zaman?
LSD	En küçük. Tüm çiftler için tek değer: $t_{\alpha/2} \sqrt{2 \cdot HKO / r}$	Az sayıda muamele, önceden planlanmış karşılaştırmalar
Duncan	Sıralı ortalamalar arasında kaç ortalama kaldığına göre büyür ($R_2 < R_3 < \cdots$)	Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın yöntem
Tukey HSD	En büyük. Tüm çiftler için tek değer: $q_{\alpha;\,k} \sqrt{HKO / r}$	Çok sayıda muamele; yanlış “fark var” kararından özellikle kaçınmak gerekiyorsa

Muamele sayısı arttıkça yapılan ikili karşılaştırma sayısı hızla artar (5 muamelede 10, 10 muamelede 45 çift). LSD her çifte %5 risk tanıdığı için toplamda yanlışlıkla en az bir “fark var” deme olasılığı büyür. Tukey bu toplam riski %5’te tutar; bu yüzden daha az fark bulur. Duncan ikisinin arasında kalır.

Sonuçlar harflerle gösterilir. Aynı harfi paylaşan ortalamalar arasında önemli fark yoktur. Tesadüf parselleri örneğinde 10 ve 15 kg N dozlarının ikisi de, hangi yöntem seçilirse seçilsin, “a” alır. 15 kg vermenin 10 kg’a göre ek bir faydası olmadığı için çiftçiye önerilecek ekonomik doz 10 kg’dır. Tesadüf blokları örneğinde ise yöntem değiştirince harflerin değiştiğini görebilirsin. Tukey, LSD ve Duncan’ın “farklı” dediği bazı çeşitleri aynı grupta toplar.

Denemenin varyasyon katsayısı

Tarla denemelerinin raporlarında hep bir VK değeri görürsün. Bu, hata kareler ortalamasının karekökünün genel ortalamaya yüzde oranıdır ve denemenin ne kadar özenli yürütüldüğünü gösterir:

$$VK = \frac{\sqrt{HKO}}{\bar{X}} \times 100$$

Tarla denemelerinde %10–15’in altındaki VK genellikle iyi kabul edilir. VK çok yüksekse parseller arasında muamele dışında büyük farklar var demektir ve muamele etkileri bu gürültünün içinde kaybolabilir.

Varsayımlar

Varyans analizi doğru sonuç vermek için üç şey varsayar: her gruptaki veriler yaklaşık normal dağılır, grupların varyansları birbirine yakındır ve gözlemler birbirinden bağımsızdır. Gruplardan birinin değerleri ötekilere göre çok daha dağınıksa ya da veri belirgin şekilde çarpıksa (sayım ve yüzde verileri gibi) sonuç yanıltıcı olabilir. Bu durumlarda verinin dönüştürülmesi gerekebilir.