İki ölçüm arasındaki ilişki

İki soru, iki araç

Bir ıslahçı bitki boyu ile verim arasındaki bağa, bir agronomist azot dozu ile verim arasındaki bağa bakar. İki farklı soru sorulabilir:

• Birlikte değişiyorlar mı, ne kadar güçlü? Bu, korelasyonun sorusudur. İki değişken eşit statüdedir; hangisinin hangisini etkilediği sorulmaz.
• Birini bildiğimde diğerini ne kadar iyi tahmin ederim? Bu, regresyonun sorusudur. Biri bağımsız değişkendir ve kontrol edilir (azot dozu), diğeri bağımlı değişkendir ve ondan tahmin edilir (verim).

Korelasyon katsayısı (r)

$r$, −1 ile +1 arasında bir sayıdır. İşareti ilişkinin yönünü, büyüklüğü ise gücünü gösterir:

r	Anlamı	Tarladan örnek
+1’e yakın	Güçlü pozitif: biri artarken diğeri de düzenli artar	Başak uzunluğu ve başaktaki dane sayısı
0 civarı	Doğrusal ilişki yok	Parsel numarası ve verim
−1’e yakın	Güçlü negatif: biri artarken diğeri düzenli azalır	Yabancı ot yoğunluğu ve verim

Kaba bir kural olarak $|r| < 0{,}3$ zayıf, $0{,}3$–$0{,}7$ orta, $0{,}7$‘nin üstü güçlü ilişki sayılır. Ama az sayıda noktayla hesaplanan büyük bir $r$ bile şans eseri çıkabilir. Bu yüzden $r$‘nin önemli olup olmadığı t testiyle ayrıca sınanır.

Regresyon doğrusu

Regresyon, noktaların arasından geçen ve noktalara olan dikey uzaklıkların karelerinin toplamını en küçük yapan doğruyu bulur (en küçük kareler yöntemi):

$$\hat{y} = a + b\,x$$

En çok işe yarayan sayı eğimdir ($b$): X bir birim arttığında Y’nin ortalama ne kadar değiştiğini söyler. Aşağıdaki örnekte eğim yaklaşık 8,45’tir; yani her ek kg azot, verimi ortalama 8,45 kg/da artırıyor.

Belirleme katsayısı ($R^2$) ise Y’deki değişimin ne kadarının X ile açıklandığını gösterir. $R^2 = 0{,}94$ ise verimdeki farkların %94’ü azot dozundaki farklarla açıklanıyor, geri kalan %6 başka etkenlerden (toprak, ölçüm hatası) geliyor demektir.

Soru: İki ölçüm birlikte değişiyor mu? Biri bilinince diğeri ne kadar iyi tahmin edilebilir?
Örnek: Farklı azot dozlarında (kg/da) elde edilen verim (kg/da). Azot dozu ile verim arasında ilişki var mı, doz arttıkça verim ne kadar artıyor?

X’in adı

X değerleri (bağımsız değişken)0, 3, 6, 9, 12, 15, 18

n = 7, ortalama 9

Y’nin adı

Y değerleri (bağımlı değişken)285, 320, 362, 390, 415, 428, 432

n = 7, ortalama 376

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)Tahmin için X

Noktalar ölçümler, çizgi regresyon doğrusu. Yeşil nokta girdiğin X için tahmin.

Regresyon denklemi

$\hat{y} = 299{,}93 + 8{,}452\,x$

Korelasyon (r)

0,969

Belirleme (R²)

%93,9

x = 10 için tahmin

384,45

X bir birim arttığında Y ortalama 8,452 birim artıyor. Y’deki değişimin %93,9’i X ile açıklanıyor; ilişki güçlü.

1. Eğim (b): X bir birim arttığında Y’nin ortalama ne kadar değiştiği.

   $$b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}} = \dfrac{2130}{252} = 8{,}4524$$

2. Kesişim (a): doğrunun ortalama noktadan (x̄, ȳ) geçmesi sağlanır.

   $$a = \bar{y} - b\,\bar{x} = 376 - 8{,}4524 \cdot 9 = 299{,}9286$$

3. Regresyon denklemi:

   $$\hat{y} = 299{,}929 + 8{,}4524\,x$$

4. Belirleme katsayısı: Y’deki değişimin yüzde kaçı X ile açıklanıyor.

   $$R^2 = r^2 = 0{,}9392 \;(\%93{,}9)$$

İlişki önemli mi?

$H_0: \rho = 0$$H_1: \rho \neq 0$

Kırmızı alan red bölgesi (α = 0,05). Yeşil çizgi senin verinden hesaplanan değer.

H₀ reddedildi: fark önemli

X ile Y arasında güçlü, pozitif (biri artarken diğeri de artıyor) ve istatistik olarak önemli bir ilişki var.

p-değeri = 0,0003 (%1 düzeyinde önemli, **)

Korelasyon nedensellik göstermez: iki değişken birlikte değişiyor diye biri diğerine sebep olmaz.

Nasıl hesaplandı?

$t_{hes}$ = 8,785

1. Kareler ve çarpımlar toplamları (düzeltilmiş) hesaplanır.

   $$S_{xx} = \sum x^2 - \dfrac{(\sum x)^2}{n} = 252$$
2. $$S_{yy} = \sum y^2 - \dfrac{(\sum y)^2}{n} = 19170$$
3. $$S_{xy} = \sum xy - \dfrac{\sum x \sum y}{n} = 2130$$

4. Korelasyon katsayısı: ilişkinin yönü ve gücü (−1 ile +1 arası).

   $$r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx} \cdot S_{yy}}} = \dfrac{2130}{\sqrt{252 \cdot 19170}} = 0{,}9691$$

5. r’nin sıfırdan farklı olup olmadığı t testiyle sınanır.

   $$t = \dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}} = \dfrac{0{,}9691\sqrt{5}}{\sqrt{1-0{,}9392}} = 8{,}785$$

6. Hesaplanan değer tablo (kritik) değeriyle karşılaştırılır.

   $$|t_{hes}| = 8{,}785 > t_{tab} = 2{,}571$$

7. Hesaplanan değer red bölgesinde: H₀ reddedilir. p-değeri (0,0003) α = 0,05 değerinden küçük.

Doğruya fazla güvenme

Her ilişki doğrusal değildir. Örnekteki noktalara dikkatli bak: azot dozu arttıkça verim artışı yavaşlıyor, 15 ile 18 kg arasında neredeyse duruyor. Gerçekte verim bir noktadan sonra platoya ulaşır, hatta aşırı dozda düşer. Doğru bu eğriyi kabaca özetliyor, ama yüksek dozlardaki artışı olduğundan fazla gösteriyor. $R^2$ yüksek diye ilişkinin gerçekten doğrusal olduğunu varsayma; her zaman önce saçılım grafiğine bak.

Ölçtüğün aralığın dışına çıkma. 0–18 kg arasında ölçülmüş bir doğruyla 40 kg azotta verim tahmin etmek, doğruyu hiç görmediği bir bölgeye uzatmak demektir. Hesaplayıcı böyle bir tahmin istediğinde seni uyarır.