İki faktörü birlikte denemek

İki soruyu tek denemede sormak

Üç buğday çeşidinden hangisinin daha verimli olduğunu ve azotun ne kadar verilmesi gerektiğini öğrenmek istiyorsun. İki ayrı deneme kurabilirsin: biri çeşitler için, biri azot dozları için. Ama bu yolla asıl önemli soruyu hiç soramazsın:

Her çeşit azota aynı tepkiyi mi veriyor?

Belki bir çeşit 12 kg azotla verimini katlıyor, başka bir çeşit 6 kg’dan sonra hiç tepki vermiyor. Bunu görmenin tek yolu, bütün çeşit × doz kombinasyonlarını aynı denemede birlikte denemektir. Buna faktöriyel deneme denir. 3 çeşit × 3 doz, 9 kombinasyon eder. Her kombinasyon, tesadüf blokları deseninde her blokta bir kez yer alır.

Faktöriyel denemenin iki kazancı vardır:

• Etkileşimi gösterir. Bir faktörün etkisinin diğer faktörün düzeyine göre değişip değişmediğini.
• Daha ekonomiktir. Her parsel iki faktör hakkında aynı anda bilgi verir. Çeşit karşılaştırmasında her çeşidin ortalaması, üç dozun bütün parsellerinden gelir.

Etkileşim nedir?

Varyans tablosunda üç etki test edilir:

Etki	Sorduğu soru
Çeşit (A)	Bütün dozların ortalamasında çeşitler arasında fark var mı?
Azot (B)	Bütün çeşitlerin ortalamasında dozlar arasında fark var mı?
Çeşit × Azot (A×B)	Azotun etkisi çeşide göre değişiyor mu?

Etkileşim, iki faktörün birbirinden bağımsız çalışmadığı anlamına gelir. En kolay etkileşim grafiğinde görülür. Her çeşit için bir çizgi çizilir: çizgiler birbirine paralelse etkileşim yoktur, yani azot her çeşidi aynı miktarda etkiliyordur. Çizgiler açılıyor, daralıyor ya da kesişiyorsa etkileşim vardır.

Etkileşim önemliyse yorum değişir. “Ortalama en iyi doz 12 kg” demek yanıltıcı olur, çünkü bir çeşit için 12 kg en iyisiyken diğerinde 6 kg ile aynı sonucu verebilir. Bu durumda karşılaştırmalar her çeşit için ayrı yapılır.

Sonuçları hangi sırayla okumalı?

1. Önce etkileşime bak. A×B önemliyse ana etkileri tek başına yorumlama; iki yönlü tabloda her satırı (her A düzeyini) kendi içinde karşılaştır.
2. Etkileşim önemsizse ana etkilere geç. Önemli çıkan faktörün kenar ortalamalarını karşılaştır. Bu ortalamalar diğer faktörün bütün düzeylerinde geçerlidir.
3. Sonucu sahaya çevir. “Çeşit B ile 12 kg azot en yüksek verimi verdi; Çeşit C’de 6 kg’dan fazlası verimi artırmadı” gibi.

Deneme deseni

Faktöriyel (bloklu)Faktöriyel (bloksuz)Bölünmüş parseller

Örnek:Çeşit × azotSulama × çeşit

Üç buğday çeşidine üç farklı azot dozu (0, 6, 12 kg/da) uygulandı; her kombinasyon 3 blokta denendi (tesadüf blokları). Verim (kg/da) ölçüldü. Çeşitler azota aynı tepkiyi mi veriyor?

1. faktörDüzeyleri (virgülle)2. faktörDüzeyleri (virgülle)Blok sayısı234568

Çeşit	Azot	Blok 1	Blok 2	Blok 3
Çeşit A	0 kg
	6 kg
	12 kg
Çeşit B	0 kg
	6 kg
	12 kg
Çeşit C	0 kg
	6 kg
	12 kg

Excel’den yapıştır

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)Karşılaştırma yöntemiDuncanLSDTukey HSD

• ÇeşitönemliF = 148,2, p < 0,0001
• AzotönemliF = 267,14, p < 0,0001
• Çeşit × AzotönemliF = 21,96, p < 0,0001

Varyans analizi tablosu

Varyasyon kaynağı	SD	KT	KO	F
Blok	2	3612,96	1806,48	35,79 **
Çeşit	2	14963,19	7481,59	148,2 **
Azot	2	26971,63	13485,81	267,14 **
Çeşit × Azot	4	4434,81	1108,7	21,96 **
Hata	16	807,7	50,48
Genel	26	50790,3

* %5, ** %1 düzeyinde önemli, ö.d.: önemli değil. VK = %1,61.

Etkileşim ne diyor?

Etkileşim önemli: Azot’in etkisi Çeşit düzeyine göre değişiyor. Bu yüzden “en iyi Azot” sorusunun tek bir cevabı yok; karşılaştırmalar her Çeşit düzeyi için ayrı yapılmalı. En iyi Azot düzeyi her Çeşit için aynı (12 kg), ama tepkinin büyüklüğü farklı: Çeşit B için düzeyler arası fark 115,7, Çeşit C için yalnızca 41,7.

Ortalamalar (harfler: her Çeşit içinde Azot düzeyleri karşılaştırıldı, Duncan)

Çeşit \ Azot	0 kg	6 kg	12 kg	Çeşit ort.
Çeşit A	397c	439,67b	470a	435,56
Çeşit B	414,33c	473,67b	530a	472,67
Çeşit C	389b	428a	430,67a	415,89
Azot ort.	400,11	447,11	476,89	441,37

Etkileşim önemli olduğu için ana etki ortalamaları (kenar satır ve sütun) tek başına yorumlanmaz; her satırdaki harfler o Çeşit düzeyinde Azot düzeylerinin karşılaştırmasıdır. Duncan (%5) kritik aralıkları: R2 = 12,3, R3 = 12,9.

Kareler toplamları nasıl hesaplandı?

1. Düzeltme terimi: genel toplamın karesi parsel sayısına bölünür.

   $$DT = \dfrac{(\sum X)^2}{a \cdot b \cdot r} = \dfrac{11917^2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = 5259810{,}7$$

2. Genel kareler toplamı:

   $$GKT = \sum X^2 - DT = 50790{,}3$$

3. Blok kareler toplamı: her blok toplamının karesi, bloktaki parsel sayısına (a·b) bölünür.

   $$BKT = \dfrac{\sum B_k^2}{9} - DT = 3612{,}96$$

4. Çeşit kareler toplamı: her Çeşit düzeyinin toplamı 9 parselden gelir.

   $$A\,KT = \dfrac{\sum A_i^2}{b \cdot r} = \dfrac{\sum A_i^2}{9} - DT = 14963{,}19$$

5. Azot kareler toplamı: her Azot düzeyinin toplamı 9 parselden gelir.

   $$B\,KT = \dfrac{\sum B_j^2}{a \cdot r} = \dfrac{\sum B_j^2}{9} - DT = 26971{,}63$$

6. Etkileşim: kombinasyonlar (A×B hücreleri) arasındaki değişkenlikten, iki faktörün tek başına açıkladığı kısım çıkarılır. Geriye kalan, faktörlerin birbirini nasıl etkilediğidir.

   $$AB\,KT = \dfrac{\sum T_{ij}^2}{r} - DT - A\,KT - B\,KT = 46369{,}63 - 14963{,}19 - 26971{,}63 = 4434{,}81$$

7. Hata: genelden blok ve kombinasyonların açıkladığı kısım çıkarılır.

   $$HKT = GKT - BKT - (A\,KT + B\,KT + AB\,KT) = 807{,}7$$

8. Hata serbestlik derecesi (a·b − 1)(r − 1) = 16. Üç F değeri de aynı hataya bölünür:

   $$F_A = 148{,}205, \quad F_B = 267{,}144, \quad F_{AB} = 21{,}963$$

9. Her F değeri kendi serbestlik dereceleriyle F tablosundaki değerle karşılaştırılır; önem düzeyleri tabloda yıldızla gösterildi.

Karşılaştırmanın ayrıntısı: Duncan çoklu aralık testi

Ortalamalar sıralanır; birbirinden uzak olanlar için daha büyük, yakın olanlar için daha küçük kritik fark kullanılır. Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın kullanılan yöntemdir.

1. Ortalamalar büyükten küçüğe sıralanır. İki ortalama arasında kaç ortalama kaldığına (p) göre farklı bir kritik aralık kullanılır.

   $$R_p = q_{\alpha_p;\,p;\,16} \sqrt{\dfrac{HKO}{3}}, \qquad \alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}$$

2. Kritik aralıklar:

   $$R_{2} = 12{,}3,\quad R_{3} = 12{,}9$$

3. Daha geniş bir aralıktaki fark önemsizse, o aralığın içinde kalan ortalamalar arasındaki farklar da önemsiz sayılır.

4. Farkı kritik değerden küçük olan ortalamalar aynı harfi alır. 3 / 3 çift arasındaki fark önemli.

Örnekte üç etki de %1 düzeyinde önemli. Etkileşim grafiğinde Çeşit B’nin çizgisi en dik çıkıyor; Çeşit C’nin çizgisi ise 6 kg’dan sonra düzleşiyor. İki yönlü tabloda harflere bakınca Çeşit C için 6 ve 12 kg’ın aynı harfi aldığını görürsün. Bu çeşitte 12 kg azot vermek boşa masraftır.

Serbestlik dereceleri

$a$ düzeyli A, $b$ düzeyli B ve $r$ bloklu bir faktöriyel denemede:

Kaynak	SD
Blok	$r - 1$
A	$a - 1$
B	$b - 1$
A × B	$(a-1)(b-1)$
Hata	$(ab - 1)(r - 1)$
Genel	$abr - 1$

A, B ve A×B’nin serbestlik dereceleri toplamı, $ab$ kombinasyonun tek faktörlü bir denemedeki muamele serbestlik derecesine ($ab - 1$) eşittir. Faktöriyel analiz, muamele kareler toplamını bu üç anlamlı parçaya böler.

Bölünmüş parseller: faktörlerden biri büyük parsel isterse

Bazı uygulamalar küçük parsellere yapılamaz. Sulama, toprak işleme yöntemi ya da ekim zamanı genellikle büyük alanlara uygulanır. Damla sulama hattını 2 m’lik bir parselde açıp kapatmak pratik değildir. Böyle bir faktörü çeşitle birlikte denemek için bölünmüş parseller deseni kullanılır:

1. Her blok, birinci faktörün düzey sayısı kadar büyük ana parsele bölünür. Birinci faktör (sulama) ana parsellere rastgele dağıtılır.
2. Her ana parsel, ikinci faktörün düzey sayısı kadar alt parsele bölünür. İkinci faktör (çeşit) her ana parselin içinde rastgele dağıtılır.

Bunun analizde önemli bir sonucu vardır: iki ayrı hata terimi gerekir.

• Hata (a), ana parsel hatası. Sulama düzeyleri, birbirinden uzak büyük parseller arasında karşılaştırılır. Bu parseller arasındaki toprak farkları büyüktür. Ayrıca her blokta sulama başına yalnızca bir ana parsel vardır. Bu yüzden sulama, büyük ve az serbestlik dereceli bir hatayla test edilir ve daha az hassas ölçülür.
• Hata (b), alt parsel hatası. Çeşitler aynı ana parselin içinde, yan yana küçük parsellerde karşılaştırılır. Bu karşılaştırma çok daha hassastır. Çeşit ve sulama × çeşit etkileşimi bu küçük hatayla test edilir.

Deneme deseni

Faktöriyel (bloklu)Faktöriyel (bloksuz)Bölünmüş parseller

Örnek:Çeşit × azotSulama × çeşit

Sulama (ana parsel: kuru, sulu) ve üç nohut çeşidi (alt parsel) 4 blokta denendi. Sulama büyük parsellere uygulanabildiği için ana parsel oldu; her ana parsel üç alt parsele bölünüp çeşitler bunlara rastgele dağıtıldı. Verim (kg/da) ölçüldü.

Bölünmüş parsellerde 1. faktör ana parsel (büyük parsellere uygulanan), 2. faktör alt parseldir.

1. faktör (ana parsel)Düzeyleri (virgülle)2. faktör (alt parsel)Düzeyleri (virgülle)Blok sayısı234568

Sulama	Çeşit	Blok 1	Blok 2	Blok 3	Blok 4
Kuru	Çeşit 1
	Çeşit 2
	Çeşit 3
Sulu	Çeşit 1
	Çeşit 2
	Çeşit 3

Excel’den yapıştır

Yanılma olasılığı (α)%5 (0,05)%1 (0,01)%10 (0,10)Karşılaştırma yöntemiDuncanLSDTukey HSD

• SulamaönemliF = 63,71, p = 0,0041
• ÇeşitönemliF = 110,56, p < 0,0001
• Sulama × ÇeşitönemliF = 5,8, p = 0,0173

Varyans analizi tablosu

Varyasyon kaynağı	SD	KT	KO	F
Blok	3	6796,13	2265,38	1,51 ö.d.
Sulama	1	95887,04	95887,04	63,71 **
Hata (a)	3	4515,13	1505,04
Çeşit	2	21558,33	10779,17	110,56 **
Sulama × Çeşit	2	1130,33	565,17	5,8 *
Hata (b)	12	1170	97,5
Genel	23	131056,96

* %5, ** %1 düzeyinde önemli, ö.d.: önemli değil. VK (a) = %10,23, VK (b) = %2,6. Sulama ve blok, Hata (a) ile; Çeşit ve etkileşim, Hata (b) ile test edildi.

Etkileşim ne diyor?

Etkileşim önemli: Çeşit’in etkisi Sulama düzeyine göre değişiyor. Bu yüzden “en iyi Çeşit” sorusunun tek bir cevabı yok; karşılaştırmalar her Sulama düzeyi için ayrı yapılmalı. En iyi Çeşit düzeyi her Sulama için aynı (Çeşit 2), ama tepkinin büyüklüğü farklı: Sulu için düzeyler arası fark 87,8, Kuru için yalnızca 57,3.

Ortalamalar (harfler: her Sulama içinde Çeşit düzeyleri karşılaştırıldı, Duncan)

Sulama \ Çeşit	Çeşit 1	Çeşit 2	Çeşit 3	Sulama ort.
Kuru	313,5b	346a	288,75c	316,08
Sulu	431,75b	491,75a	404c	442,5
Çeşit ort.	372,63	418,88	346,38	379,29

Etkileşim önemli olduğu için ana etki ortalamaları (kenar satır ve sütun) tek başına yorumlanmaz; her satırdaki harfler o Sulama düzeyinde Çeşit düzeylerinin karşılaştırmasıdır. Duncan (%5) kritik aralıkları: R2 = 15,21, R3 = 15,92.

Neden iki ayrı hata?

Sulama büyük ana parsellere uygulandığı için her blokta Sulama başına yalnızca bir ana parsel var. Ana parseller arasındaki toprak farkları Sulama karşılaştırmasına karışır; bu yüzden Sulama, alt parsellere göre çok daha büyük olan ana parsel hatasıyla (KO = 1505,04) test edilir.

Veri yanlışlıkla faktöriyel gibi analiz edilseydi Sulama için F = 252,99 (p < 0,0001) bulunurdu; doğru analizde F = 63,71. Yanlış analiz Sulama’in etkisini olduğundan çok daha kesin gösterir.

Kareler toplamları nasıl hesaplandı?

1. Düzeltme terimi: genel toplamın karesi parsel sayısına bölünür.

   $$DT = \dfrac{(\sum X)^2}{a \cdot b \cdot r} = \dfrac{9103^2}{2 \cdot 3 \cdot 4} = 3452692{,}04$$

2. Genel kareler toplamı:

   $$GKT = \sum X^2 - DT = 131056{,}96$$

3. Blok kareler toplamı: her blok toplamının karesi, bloktaki parsel sayısına (a·b) bölünür.

   $$BKT = \dfrac{\sum B_k^2}{6} - DT = 6796{,}13$$

4. Sulama kareler toplamı: her Sulama düzeyinin toplamı 12 parselden gelir.

   $$A\,KT = \dfrac{\sum A_i^2}{b \cdot r} = \dfrac{\sum A_i^2}{12} - DT = 95887{,}04$$

5. Çeşit kareler toplamı: her Çeşit düzeyinin toplamı 8 parselden gelir.

   $$B\,KT = \dfrac{\sum B_j^2}{a \cdot r} = \dfrac{\sum B_j^2}{8} - DT = 21558{,}33$$

6. Etkileşim: kombinasyonlar (A×B hücreleri) arasındaki değişkenlikten, iki faktörün tek başına açıkladığı kısım çıkarılır. Geriye kalan, faktörlerin birbirini nasıl etkilediğidir.

   $$AB\,KT = \dfrac{\sum T_{ij}^2}{r} - DT - A\,KT - B\,KT = 118575{,}71 - 95887{,}04 - 21558{,}33 = 1130{,}33$$

7. Ana parsel hatası: her blokta her Sulama düzeyi bir ana parseldir. Ana parsel toplamlarının değişkenliğinden blok ve Sulama payı çıkarılır.

   $$Hata(a)\,KT = \dfrac{\sum (AB)_{ik}^2}{b} - DT - BKT - A\,KT = 107198{,}29 - 6796{,}13 - 95887{,}04 = 4515{,}13$$

8. Alt parsel hatası: geriye kalan değişkenlik.

   $$Hata(b)\,KT = GKT - BKT - A\,KT - Hata(a)\,KT - B\,KT - AB\,KT = 1170$$

9. Serbestlik dereceleri: Hata (a) = (r − 1)(a − 1) = 3, Hata (b) = a(r − 1)(b − 1) = 12.

10. Sulama ana parseller arasında karşılaştırıldığı için ana parsel hatasına bölünür:

    $$F_A = \dfrac{95887{,}04}{1505{,}04} = 63{,}711$$

11. Çeşit ve etkileşim aynı ana parselin içinde karşılaştırıldığı için alt parsel hatasına bölünür:

    $$F_B = \dfrac{10779{,}17}{97{,}5} = 110{,}556, \qquad F_{AB} = \dfrac{565{,}17}{97{,}5} = 5{,}797$$

12. Her F değeri kendi serbestlik dereceleriyle F tablosundaki değerle karşılaştırılır; önem düzeyleri tabloda yıldızla gösterildi.

Karşılaştırmanın ayrıntısı: Duncan çoklu aralık testi

Ortalamalar sıralanır; birbirinden uzak olanlar için daha büyük, yakın olanlar için daha küçük kritik fark kullanılır. Türkiye’de tarla denemelerinde en yaygın kullanılan yöntemdir.

1. Ortalamalar büyükten küçüğe sıralanır. İki ortalama arasında kaç ortalama kaldığına (p) göre farklı bir kritik aralık kullanılır.

   $$R_p = q_{\alpha_p;\,p;\,12} \sqrt{\dfrac{HKO}{4}}, \qquad \alpha_p = 1 - (1 - \alpha)^{p-1}$$

2. Kritik aralıklar:

   $$R_{2} = 15{,}21,\quad R_{3} = 15{,}92$$

3. Daha geniş bir aralıktaki fark önemsizse, o aralığın içinde kalan ortalamalar arasındaki farklar da önemsiz sayılır.

4. Farkı kritik değerden küçük olan ortalamalar aynı harfi alır. 3 / 3 çift arasındaki fark önemli.

Bölünmüş parsellerde aynı Sulama düzeyindeki Çeşit karşılaştırmaları Hata (b) ile yapılır. Aynı Çeşit düzeyinde Sulama düzeylerini karşılaştırmak iki hatanın birleştirilmesini gerektirir; bu hesaplayıcıda yapılmıyor.

Hesaplayıcıda “Bölünmüş parseller” seçiliyken aynı verinin faktöriyel gibi analiz edilseydi ne çıkacağını da görebilirsin. Ana parsel hatası alt parsel hatasıyla karıştırılırsa sulamanın F değeri yaklaşık dört kat büyür. Sulama etkisi olduğundan çok daha kesinmiş gibi görünür.

Hangi faktör ana parsele?

• Uygulaması büyük alan gerektiren faktör ana parsele konur: sulama, toprak işleme, ekim zamanı.
• Hassas karşılaştırılması daha önemli olan faktör alt parsele konur. Ana parsel faktörü her zaman daha kaba ölçülür.
• Etkileşim alt parsel hatasıyla test edildiği için hassas ölçülür. Bölünmüş parseller etkileşimi incelemek için de iyi bir desendir.