Şansı hesaba katmak

“Bu fark şans eseri olabilir mi?”

Yeni bir buğday çeşidi denemede eskisinden 20 kg/da fazla verdi. Yeni çeşit gerçekten daha mı iyi, yoksa sadece o yıl, o parsellerde şansı mı yaver gitti?

İstatistikteki bütün testler aslında bu soruyu sorar ve cevabı bir olasılık olarak verir: “Çeşitler arasında hiç fark olmasaydı, sırf şansla bu kadar büyük bir fark görme olasılığım ne kadar?” Bu olasılık çok küçükse farkın gerçek olduğuna karar verirsin. Bu yüzden olasılık, ileride göreceğin her testin temelidir.

Olasılık neyi ölçer?

Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalini 0 ile 1 arasında bir sayıyla ifade eder. 0 “asla olmaz”, 1 “kesin olur” demektir. Bu sayıyı üç yoldan elde edebilirsin:

Yol	Nasıl bulunur?	Örnek
Klasik olasılık	Bütün durumlar eşit ihtimalliyse: istenen durum sayısı ÷ tüm durumların sayısı	Zarda 6 gelmesi: $\frac{1}{6}$
Göreli frekans	Geçmişte ne sıklıkla olduğuna bakılır	Son 20 yılın 5’inde nisan ayında don oldu: $\frac{5}{20} = 0{,}25$
Öznel olasılık	Bir uzmanın deneyime dayalı tahmini	“Bu yıl fiyatların düşme ihtimali yüksek”

Bir olayın olma olasılığı $p$ ise olmama olasılığı $q = 1 - p$‘dir. Tohumların %85’i çimleniyorsa, rastgele bir tohumun çimlenmeme olasılığı 0,15’tir.

İki temel kural: “ve” çarpılır, “veya” toplanır

Çarpma kuralı. Birbirini etkilemeyen (bağımsız) olayların hepsinin birlikte olma olasılığı, olasılıkların çarpımıdır. İki zarın ikisinin de 6 gelmesi: $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Toplama kuralı. Aynı anda gerçekleşemeyen (ayrık) olaylardan herhangi birinin olma olasılığı, olasılıkların toplamıdır. Tek bir zarda 1 ya da 2 gelmesi: $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6}$.

Örnek:İki zar, iki 6Torbadan iadeli çekilişZarda 1 veya 2

Torbada 5 kırmızı, 6 sarı, 7 yeşil bilye var. Çekilen bilye geri konarak üç çekiliş yapılıyor: önce kırmızı, sonra sarı, sonra yeşil gelme olasılığı?

Olaylar nasıl bir arada?

Hepsi birlikte (ve): çarpHerhangi biri (veya): topla

Olay	İstenen durum	Tüm durumlar	Olasılık	Sil
			0,2778	×
			0,3333	×
			0,3889	×

Olay ekle

Sonuç

Hepsinin birlikte olma olasılığı 0,036

1. Olaylar birbirini etkilemiyorsa (bağımsızsa) olasılıklar çarpılır.

   $$P(A \text{ ve } B) = P(A) \cdot P(B)$$
2. $$P = \dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{6}{18} \cdot \dfrac{7}{18} = \dfrac{210}{5832} = \dfrac{35}{972} = 0{,}036008$$

Saymak: kaç farklı yol var?

Klasik olasılıkta “tüm durumların sayısını” bilmen gerekir. Durum az olduğunda tek tek sayarsın. 20 kişilik bir sınıftan başkan ve yardımcı seçmenin kaç yolu olduğunu tek tek saymak ise pratik değildir. Permütasyon ve kombinasyon bu sayımın kısa yoludur.

Hangisini kullanacağına tek bir soru karar verir: seçilenlerin sırası önemli mi?

• Sıra önemliyse permütasyon. Başkan ve yardımcı seçimi: Ali başkan ve Ayşe yardımcıysa bu, Ayşe başkan ve Ali yardımcı durumundan farklıdır. $_{20}P_2 = 20 \cdot 19 = 380$.
• Sıra önemsizse kombinasyon. 3 kişilik jüri seçimi: Ali, Ayşe ve Mehmet hangi sırayla seçilirse seçilsin aynı jüridir. $_{10}C_3 = 120$.

Kombinasyon her zaman permütasyondan küçüktür. Aynı grubun farklı sıralanışları tek bir grup sayıldığı için permütasyon $r!$‘e bölünür.

Örnek:JüriBaşkan ve yardımcıParsel sırasıDeneme kombinasyonu

10 profesörden 3 kişilik jüri kaç farklı şekilde seçilir? Jüride görev sırası yok.

Seçilenlerin sırası önemli mi?

Evet (permütasyon)Hayır (kombinasyon)Hepsini sırala (n!)

Toplam (n)Seçilen (r)

Sonuç

Kombinasyon 120

1. Sıra önemsiz: aynı kişiler hangi sırayla seçilirse seçilsin tek bir grup sayılır. Permütasyon sayısı, r kişinin kendi aralarındaki sıralanış sayısına (r!) bölünür.

   $${}_nC_r = \dbinom{n}{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!} = \dfrac{{}_nP_r}{r!}$$
2. $${}_{10}C_{3} = \dfrac{10!}{3!\,(10-3)!} = \dfrac{10!}{3!\cdot 7!}$$
3. $$= \dfrac{720}{3!} = \dfrac{720}{6} = 120$$

Saymaktan olasılığa

20 kişilik sınıfta seçim tamamen rastgele yapılırsa, Ali’nin başkan ve Ayşe’nin yardımcı olma olasılığı nedir? İstenen durum sadece 1 tane, tüm durumlar 380 tane:

$$P = \frac{1}{_{20}P_2} = \frac{1}{380} \approx 0{,}0026$$

Kombinasyonun asıl önemli kullanımı bir sonraki bölümde: binom dağılımında “n denemenin k tanesinde başarı” durumunun kaç farklı şekilde ortaya çıkabileceğini $\binom{n}{k}$ sayar.