Veriyi birkaç sayıyla özetlemek

Aynı ortalama, bambaşka iki çeşit

İki buğday çeşidini beşer parselde denedin. İkisinin de ortalama verimi 500 kg/da çıktı:

	Parsel verimleri (kg/da)	Ortalama	Standart sapma
Çeşit A	490, 505, 498, 512, 495	500	8,6
Çeşit B	310, 690, 455, 620, 425	500	153,5

Sadece ortalamaya bakan biri iki çeşidi aynı sanır. Oysa A her parselde 500 civarında veriyor; B ise bir yerde 310, başka bir yerde 690 veriyor. Riskten kaçınan bir çiftçi A’yı seçer.

Bir veri setini anlatmak için bu yüzden en az iki sayı gerekir:

• Bir yer (merkez) ölçüsü: değerler hangi sayı etrafında toplanıyor? Ortalama, medyan, mod.
• Bir dağılış (yayılım) ölçüsü: değerler o merkezden ne kadar uzaklaşıyor? Standart sapma, ranj, varyasyon katsayısı.

“Ortalama 500 ± 9 kg/da” demek, tek başına “ortalama 500” demekten çok daha fazlasını anlatır.

Kendi verinle dene

Bir ölçüye tıkla, sağ tarafta adım adım nasıl hesaplandığını gör. Altta sonuçların sade bir yorumu var.

Verin

Örnek veri:Öğrenci boylarıBarfiks sayılarıVize notlarıBuğday verimi

188, 192, 170, 165, 155, 152, 155, 178, 195, 150

10 sayı okundu.

Ayıklama oranı%5%10%20Çeyrek yöntemiStandart (Excel ile aynı)Ders notundakiOndalık basamak234

Merkez Veri hangi değer etrafında toplanıyor?

• Aritmetik ortalama$\bar{x}$170

  En çok kullanılan merkez ölçüsü. Tüm değerleri hesaba katar, bu yüzden uç değerlerden etkilenir.

  1. Tüm değerler toplanır ve veri sayısına bölünür.

     $$\bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}$$
  2. $$\bar{x} = \dfrac{188 + 192 + 170 + 165 + \cdots + 195 + 150}{10}$$
  3. $$\bar{x} = \dfrac{1700}{10} = 170$$
• Medyan$\tilde{x}$167,5
• Mod$Mo$155
• Geometrik ortalama$G$169,22
• Harmonik ortalama$H$168,45
• Ayıklanmış ortalama$\bar{x}_{ay}$169,38
• Winsorize ortalama$\bar{x}_{w}$169,9

Yayılım Değerler birbirinden ne kadar farklı?

• Ranj$R$45
• Varyans$s^2$299,56
• Standart sapma$s$17,31
• Varyasyon katsayısı$VK$%10,18
• 1. çeyrek$Q_1$154,25
• 3. çeyrek$Q_3$189
• Çeyrekler arası açıklık$Q_3-Q_1$34,75

Şekil Dağılım simetrik mi, bir tarafa mı yığılmış?

• Çarpıklık$Sk_P$0,43
• Basıklık$\beta_2$1,51

Bu sayılar ne diyor?

• Değerler 150 ile 195 cm arasında; ortalama 170 cm.
• Ortalama (170) ile medyan (167,5) arasında küçük bir fark var: dağılım hafifçe sağa çarpık.
• Standart sapma 17,31 cm. Kabaca söylersek değerlerin çoğu 152,69 ile 187,31 cm arasında toplanıyor.
• Varyasyon katsayısı %10,2, yani değişkenlik orta düzeyde. VK birimden bağımsız olduğu için farklı ölçümleri (ör. boy ile ağırlık) karşılaştırmaya yarar.

Hangisini kullanayım?

Durum	Önerilen ölçü	Neden?
Veri simetrik, uç değer yok	Aritmetik ortalama ve standart sapma	Tüm veriyi kullanır, ileri testlerin hepsi bunlara dayanır
Birkaç çok yüksek ya da çok düşük değer var	Medyan ve çeyrekler	Uç değerlerden etkilenmez
Uç değerlerin ölçüm hatası olduğundan şüpheleniyorsun	Ayıklanmış ya da winsorize ortalama	Uçların etkisini kırar ama tamamen yok saymaz
Kategorik veri (çeşit, hastalık türü)	Mod	Diğerleri hesaplanamaz
Yıllık artış oranları, büyüme hızları	Geometrik ortalama	Oranların çarpımsal yapısına uygundur
Hız, birim başına miktar	Harmonik ortalama	“Bir şey başına” verilen değerlerin doğru ortalaması
Farklı birimlerdeki ya da büyüklükteki verilerin değişkenliğini kıyaslamak	Varyasyon katsayısı	Birimden bağımsızdır

Kısa notlar

Ortalama uç değere neden bu kadar duyarlı?

Beş parselin verimi 480, 495, 500, 510 ve 515 kg/da olsun. Ortalama 500, medyan da 500. Bir parseli yabani domuz basıp verimi 120’ye düşürürse ortalama 424’e iner, medyan ise 495 olur. Medyan hâlâ “tipik bir parseli” anlatırken ortalama hiçbir parseli anlatmaz hale gelir.

Standart sapmada neden n değil de n − 1’e bölüyoruz?

Örnekteki değerler, kendi ortalamalarına popülasyon ortalamasına olduğundan daha yakındır; çünkü $\bar{x}$ zaten o değerlerden hesaplandı. $n$‘e bölünürse yayılım olduğundan küçük tahmin edilir. $n - 1$‘e bölmek bu sapmayı düzeltir. Bu $n - 1$ sayısına serbestlik derecesi denir ve ileride t, χ² ve F testlerinde sürekli karşına çıkacak.

$$s = \sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n - 1}}$$

Varyasyon katsayısı neyi kıyaslar?

Bitki boyunun standart sapması 12 cm, dane ağırlığınınki 3 g. Hangisi daha değişken? Birimler farklı olduğu için standart sapmaları kıyaslayamazsın. Varyasyon katsayısı standart sapmayı ortalamanın yüzdesi olarak verir ve bu kıyası mümkün kılar:

$$VK = \frac{s}{\bar{x}} \times 100$$

Tarla denemelerinde VK, denemenin ne kadar özenli yürütüldüğünün de göstergesi olarak raporlanır. Çok yüksek bir VK, parseller arasında muamele dışında başka farkların (toprak, sulama, ölçüm hatası) da olduğunu düşündürür.