Örnekten popülasyona

Örnekten çıkan sayı, gerçeği ne kadar yakalar?

16 merinos kuzusunu tarttın, ortalama doğum ağırlığı 3,2 kg çıktı. Sürüdeki bütün kuzuların gerçek ortalaması da 3,2 kg mı? Neredeyse kesinlikle hayır. Başka 16 kuzu seçseydin 3,0 ya da 3,5 çıkabilirdi. Örnekten hesaplanan her sayı, popülasyondaki gerçek değerin bir tahminidir ve biraz yanılır.

Tahmin bu yüzden iki şekilde verilir:

• Nokta tahmini: Tek bir sayı. “Ortalama doğum ağırlığı 3,2 kg.” Örnekten hesaplanan ortalama, varyans ya da oran popülasyon parametresinin nokta tahminidir. Popülasyon değerine tam eşit çıkması beklenmez.
• Aralık tahmini (güven sınırları): Nokta tahmininin etrafına, gerçek değeri belli bir olasılıkla içine alan bir aralık çizilir. “Ortalama doğum ağırlığı %95 güvenle 2,0 ile 4,4 kg arasındadır.”

Aralık tahmini, nokta tahmininin söylemediği bir şeyi söyler: ne kadar emin olabileceğini. Dar bir aralık, tahminin hassas olduğunu; geniş bir aralık ise örneğin popülasyon hakkında az şey söylediğini gösterir.

İyi bir nokta tahmini nasıl olmalı?

Özellik	Anlamı	Örnek
Sapmasızlık	Tahminin beklenen değeri popülasyon parametresine eşittir; tekrar tekrar örnek alınsa ortalamada doğru değeri bulur.	Varyansta $n$ yerine $n - 1$‘e bölmemizin sebebi budur.
Kararlılık	Örnek büyüdükçe tahmin popülasyon değerine yaklaşır.	1000 kuzunun ortalaması 16 kuzununkinden daha güvenilirdir.
Etkinlik	Tahminin varyansı küçüktür, yani örnekten örneğe az oynar.	Normal dağılan veride aritmetik ortalama, medyandan daha etkindir.
Yeterlilik	Tahmin, örnekteki bilginin hepsini kullanır.	Ortalama bütün değerleri kullanır; mod kullanmaz.

Güven aralığının mantığı

Aralığın genişliği üç şeye bağlıdır:

$$\text{nokta tahmini} \pm \underbrace{\text{tablo değeri}}_{\text{güven düzeyi}} \times \underbrace{\text{standart hata}}_{\text{yayılım ve } n}$$

• Güven düzeyi: %99 güven istersen aralık %95’e göre genişler. Daha emin olmanın bedeli, daha az kesin bir cevaptır.
• Verinin yayılımı: Değerler ne kadar dağınıksa aralık o kadar geniştir.
• Örnek büyüklüğü: Standart hata $\sqrt{n}$‘e bölündüğü için örnek büyüdükçe aralık daralır. Aralığı yarıya indirmek için dört kat örnek gerekir.

Güven sınırları $P(-z_{\alpha/2} < z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha$ şeklinde yazılır. %95 güven için $\alpha = 0{,}05$‘tir; aralık iki yanlı olduğu için bu yanılma payı iki kuyruğa paylaştırılır ve tablodan $\alpha/2 = 0{,}025$ için değer okunur.

Hangi dağılımı kullanacağım?

Neyin aralığı?	Durum	Dağılım
Bir ortalama	Popülasyon varyansı ($\sigma^2$) biliniyor	Z
Bir ortalama	$\sigma^2$ bilinmiyor, $n > 30$	Z (σ yerine $s$ konur)
Bir ortalama	$\sigma^2$ bilinmiyor, $n \le 30$	t ($n - 1$ serbestlik derecesi)
İki ortalama farkı	Küçük örnekler	t ($n_1 + n_2 - 2$ serbestlik derecesi)
Bir oran, iki oran farkı	Sayım verisi	Z
Varyans		Ki-kare ($n - 1$ serbestlik derecesi)

Neden 30? Küçük örneklerde $s$, $\sigma$‘yı oldukça yanlış tahmin edebilir. t dağılımı bu ek belirsizliği hesaba katar: kuyrukları Z’den kalındır, tablo değeri büyüktür ve aralık genişler. Serbestlik derecesi arttıkça t, Z’ye yaklaşır. 30 serbestlik derecesinde %95 için t = 2,042, Z = 1,96; fark %4 kadardır ve bundan sonra iyice küçülür. “n > 30 ise Z” kuralı bu yüzden pratik bir kısayoldur. Bilgisayarla hesap yaparken t’yi her zaman kullanmak biraz daha doğrudur.

Kendi verinle hesapla

Aşağıdaki hesaplayıcıda ders notundaki altı örneğin hepsi yüklü. Birini seç, sonra güven katsayısını ya da gözlem sayısını değiştirip aralığın nasıl daralıp genişlediğine bak.

Neyin aralığı?

Bir ortalamaİki ortalama farkıBir oranİki oran farkıVaryans

Ders notundaki örnekler:Merinos kuzularıÖğrenci boylarıAyçiçeği tabla çapıSigara içen öğrencilerİki böcek ilacıPeynir örnekleri

Merinos kuzuların doğum ağırlığının standart sapması 2,4 kg olarak biliniyor. Sürüden şansa bağlı seçilen 16 kuzunun doğum ağırlığı ortalaması 3,2 kg. %95 güvenle popülasyon ortalamasının sınırları nedir?

Güven katsayısı (1 − α)%90%95%99Örnek ortalaması (x̄)YayılımStandart sapmaVaryans (S²)Standart sapmaGözlem sayısı (n)Popülasyon standart sapması (σ) biliniyor

Kullanılacak dağılım: Z

Popülasyon ortalamasının %95 güvenle 2,024 ile 4,376 arasında olduğu söylenebilir.

Güven sınırları

2,024 $< \mu <$ 4,376

1. Popülasyonun standart sapması (σ) bilindiği için Z dağılımı kullanılır.

2. Güven katsayısı 1 − α = 0,95, yani α = 0,05. Aralık iki yanlı olduğu için α ikiye bölünür: α/2 = 0,025.

   $$P(-z_{\alpha/2} < z < z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha = 0{,}95$$

3. Z tablosunda α/2 = 0,025 değerine karşılık gelen z değeri:

   $$z_{0{,}025} = 1{,}96$$

4. Ortalamanın standart hatası:

   $$\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2{,}4}{\sqrt{16}} = 0{,}6$$
5. $$\mu_{\text{üs}} = \bar{x} + z_{\alpha/2}\,\sigma_{\bar{x}} = 3{,}2 + 1{,}96 \cdot 0{,}6 = 4{,}376$$
6. $$\mu_{\text{alt}} = \bar{x} - z_{\alpha/2}\,\sigma_{\bar{x}} = 3{,}2 - 1{,}96 \cdot 0{,}6 = 2{,}024$$

Formüller

Z ile bir ortalama ($\sigma$ biliniyor ya da $n > 30$):

$$\mu_{\text{üs}} = \bar{x} + z_{\alpha/2}\,\sigma_{\bar{x}}, \qquad \mu_{\text{alt}} = \bar{x} - z_{\alpha/2}\,\sigma_{\bar{x}}, \qquad \sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$

t ile bir ortalama ($\sigma$ bilinmiyor, $n \le 30$):

$$\mu_{\text{üs, alt}} = \bar{x} \pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,S_{\bar{x}}, \qquad S_{\bar{x}} = \sqrt{\frac{S^2}{n}}$$

Bir oran:

$$p_{\text{üs, alt}} = \hat{p} \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}$$

İki oran farkı:

$$(p_1 - p_2)_{\text{üs, alt}} = (\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1\hat{q}_1}{n_1} + \frac{\hat{p}_2\hat{q}_2}{n_2}}$$

İki ortalama farkı (ortak varyansla):

$$(\mu_1 - \mu_2)_{\text{üs, alt}} = (\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm S_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}\,t_{\alpha/2,\,n_1+n_2-2}, \qquad S_{\bar{x}_1 - \bar{x}_2} = \sqrt{S_p^2\left(\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2}\right)}$$ $$S_p^2 = \frac{(n_1 - 1)S_1^2 + (n_2 - 1)S_2^2}{n_1 + n_2 - 2}$$

Ki-kare ile varyans:

$$\sigma^2_{\text{üs}} = \frac{S^2(n-1)}{\chi^2_A}, \qquad \sigma^2_{\text{alt}} = \frac{S^2(n-1)}{\chi^2_B}$$

Burada $\chi^2_A$ ve $\chi^2_B$ ki-kare tablosundan okunur. %95 güven ve 29 serbestlik derecesi için $\chi^2_A = \chi^2_{0{,}975;\,29} = 16{,}05$ (küçük değer, üst sınırı verir), $\chi^2_B = \chi^2_{0{,}025;\,29} = 45{,}72$ (büyük değer, alt sınırı verir). Ki-kare simetrik olmadığı için aralık da örnek varyansına göre simetrik değildir.

Sonucu doğru okumak

%95 ne demek? Aynı yöntemle yüz farklı örnekten yüz ayrı aralık hesaplasan, bunların yaklaşık 95’i gerçek popülasyon ortalamasını içine alır. Senin elindeki aralık o 95’ten biri olabilir de olmayabilir de; yöntem uzun vadede %95 oranında doğru sonuç verir.

Farkın aralığı sıfırı içeriyorsa: İki ortalama ya da iki oran arasındaki farkın aralığı sıfırı içine alıyorsa (alt sınır negatif, üst sınır pozitif), iki grup arasında gerçekte hiç fark olmayabilir demektir. Bu, aynı güven düzeyinde yapılan iki yanlı testte farkın önemsiz çıkmasıyla aynı anlama gelir. Negatif alt sınır sıfıra yuvarlanmaz; “birinci grup ikinciden biraz düşük de olabilir” demektir. Ayçiçeği örneğinde aralık yaklaşık −8,1 ile 20,1 cm arasıdır: A çeşidi B’den 20 cm daha büyük tabla da verebilir, 8 cm daha küçük de. Bu iki çeşit arasında bu veriyle bir fark gösterilemez.

Oranlarda: Oran negatif olamayacağı için hesaplanan alt sınır sıfırın altına düşerse 0 olarak okunur. Bu genellikle olay sayısının çok az olduğunu gösterir; o zaman normal yaklaşım zaten güvenilir değildir.